تُكتب معادلة حفظ الزخم في تحليل حجم التحكم على هيئة موازنة للقوى على منطقة ثابتة أو متحركة من المائع. باستخدام قانون نيوتن الثاني مع مبرهنة نقل رينولدز، يساوي معدل تراكم الزخم داخل حجم التحكم مضافًا إليه صافي تدفق الزخم بالحمل عبر سطح التحكم مجموعَ القوى الخارجية. وينقسم مجموع القوى إلى قوى الجسم، التي تؤثر في جميع أنحاء حجم المائع، وقوى السطح، التي تؤثر عبر سطح التحكم من خلال الضغط والإجهادات اللزجة.

معادلة زخم حجم التحكم هي [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] يحتوي الطرف الأيمن على مساهمة قوة الجسم ومساهمة قوة السطح.

كيفية صياغة حفظ الزخم

البدء بقانون نيوتن الثاني

بالنسبة إلى نظام مادي، ينص قانون نيوتن الثاني على أن صافي القوة الخارجية يساوي معدل تغير الزخم:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

هنا، تمثل (\rho) كثافة المائع، وتمثل (\mathbf{v}) متجه السرعة.

بالنسبة إلى عنصر مائع مادي، يمكن التعبير عن العلاقة نفسها في صورة تفاضلية كما يلي:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

حيث إن (D\mathbf{v}/Dt) هو التسارع المادي، و(\mathbf{f}) هي القوة الصافية لكل وحدة حجم.

تطبيق مبرهنة نقل رينولدز

حجم التحكم هو منطقة محددة في الفضاء يمكن أن يمر المائع عبرها. وتحول مبرهنة نقل رينولدز موازنة النظام إلى موازنة لحجم التحكم، من خلال أخذ كل من الزخم المخزن داخل الحجم والزخم المنقول عبر حدوده في الاعتبار.

بالنسبة إلى حجم تحكم ثابت:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

يمثل الحد الأول تراكم الزخم داخل حجم التحكم. ويمثل الحد الثاني صافي تدفق الزخم بالحمل عبر سطح التحكم.

تفسير تدفق الزخم بالحمل

المتجه (\mathbf{n}) هو متجه الوحدة العمودي المتجه إلى الخارج لسطح التحكم. وتحدد الكمية (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) المركبة العمودية للسرعة التي تعبر السطح.

يكون (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0) للمائع الداخل إلى حجم التحكم، بينما يكون (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0) للمائع الخارج منه. وتراعي اتفاقية الإشارة هذه تلقائيًا مساهمات الزخم عند المداخل والمخارج.

بالنسبة إلى جريان مستقر أحادي الأبعاد ذي مقاطع سرعة منتظمة، غالبًا ما تختزل الموازنة إلى:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

الفرق بين قوى الجسم وقوى السطح

قوى الجسم تؤثر في جميع أنحاء حجم المائع

تؤثر قوة الجسم مباشرةً في كتلة المائع في جميع أنحاء حجم التحكم. ولا تتطلب تلامسًا ماديًا مع حدٍّ ما.

مساهمة قوة الجسم العامة هي:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

حيث إن (\mathbf{b}) هي قوة الجسم لكل وحدة كتلة.

المثال الأهم في معظم عمليات تشغيل وحدات جريان الموائع هو الجاذبية:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

وبالنسبة إلى كثافة ثابتة ومجال جاذبية منتظم، تصبح:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

تُعد الجاذبية مهمة في حسابات الضغط الهيدروستاتيكي، والأنابيب الرأسية، والخزانات، والأعمدة، والأنظمة التي تتضمن تغيرات في الارتفاع.

قوى السطح تؤثر عبر الحد

تؤثر قوة السطح في المائع عبر سطح التحكم. وتنشأ هذه القوى من المائع المجاور، والجدران الصلبة، والمضخات، والصمامات، والأسطح الأخرى المتلامسة.

التعبير العام هو:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

حيث إن (\mathbf{s}(\mathbf{n})) هو متجه إجهاد السطح، و(\boldsymbol{\sigma}) هو موتر الإجهاد.

لقوى السطح مكونان رئيسيان:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

يمثل الحد (-p\mathbf{I}) إجهاد الضغط متساوي الخواص. ويمثل الموتر (\boldsymbol{\tau}) الإجهاد اللزج أو الانحرافي الناتج عن تدرجات السرعة.

قوى الضغط تؤثر عموديًا

يؤثر الضغط عموديًا على السطح. وتكون مساهمته:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

تتبع الإشارة السالبة اتفاقية العمودي المتجه إلى الخارج: فالضغط المؤثر في المائع يتجه إلى الداخل بالنسبة إلى السطح المحيط.

تُعد قوى الضغط أساسية في موازين الزخم عبر المخفضات، والفوهات، والانحناءات، والمضخات، ووصلات الأنابيب. ويمكن لمحصلتها أن تولد قوة دفع أو قوى رد فعل أو علاقات لانخفاض الضغط.

القوى اللزجة تؤثر مماسيًا

يؤثر إجهاد القص اللزج أساسًا في الاتجاه المماسي لجدار أو لواجهة مائع. وعند جدار صلب، يرتبط ذلك بتدرج السرعة بالقرب من الحد.

تُمثَّل المساهمة اللزجة كما يلي:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

في الجريان الداخلي، يؤدي قص الجدار إلى فقدان احتكاكي في الضغط. وتؤثر هذه الفواقد في تحديد حجم المضخة، وقدرة التشغيل، والأداء الهيدروليكي لشبكات الأنابيب.

الموازنة الكاملة لقوى حجم التحكم

يؤدي الجمع بين حدود نقل الزخم وقوى الجسم وقوى السطح إلى:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

تنطبق هذه المعادلة بصورة مستقلة على كل اتجاه إحداثي. فعلى سبيل المثال، يُحلَّل انحناء أنبوب أفقي عادةً باستخدام مركبتي (x) و(y) لتحديد قوة الدعم أو التثبيت المطلوبة.

التبسيط في الحالة المستقرة

في ظروف الحالة المستقرة، يختفي تراكم الزخم:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

وتنص المعادلة عندئذٍ على أن صافي تدفق الزخم الخارج من حجم التحكم يساوي مجموع قوى الجسم وقوى السطح.

يكون هذا الشكل مفيدًا بصورة خاصة لتحليل جريان الأنابيب المستقر، ومحطات الضخ، والصمامات، والأكواع، وأنظمة تغذية المفاعلات.

صيغة المداخل والمخارج أحادية الأبعاد

بالنسبة إلى المداخل والمخارج المنفصلة، يمكن كتابة موازنة الزخم كما يلي:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

يكون معدل تدفق الكتلة:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

لتيار منتظم ذي مساحة مقطع عرضي (A) وسرعة (v).

يكون هذا الشكل الهندسي ملائمًا عندما تكون سرعات المداخل والمخارج معروفة أو يمكن تقديرها من الاستمرارية.

أهمية التمييز في عمليات تشغيل الوحدات

التنبؤ بانخفاضات الضغط والفواقد الاحتكاكية

يجب التمييز بين قوى الضغط وقوى قص الجدار عند حساب تغيرات الضغط عبر الأنابيب والمعدات. إذ توفر فروق الضغط قوى دافعة، بينما يفسر القص اللزج الفواقد الاحتكاكية غير العكوسة.

تدعم هذه النتائج اختيار المضخة وتقييم حدود التشغيل في الأنظمة على نطاق الوحدات التجريبية.

تقييم قوى المعدات والأنابيب

يمكن أن يغير تدفق الزخم اتجاهه حتى عندما يبقى مقداره ثابتًا. ولذلك يتعرض كوع الأنبوب لقوة رد فعل لأن متجه زخم المائع يتغير.

توفر موازنة حجم التحكم القوة المؤثرة في المائع؛ وتحدد القوة المساوية والمعاكسة الحمل المنقول إلى الوصلة أو الدعامة أو المعدة.

أخذ تأثيرات الارتفاع والضغط الهيدروستاتيكي في الاعتبار

تصبح قوى الجسم مهمة عندما يكون لحجم التحكم امتداد رأسي كبير أو عندما يكون المائع ساكنًا أو بطيء الحركة. وتسهم الجاذبية حينها في توزيع الضغط والرأس الهيدروستاتيكي.

في الأعمدة والخزانات الرأسية، يمكن أن يؤدي إهمال حد قوة الجسم إلى تنبؤ غير صحيح بالضغط أو القوة.

فهم المفاضلات

تتطلب الموازنات التكاملية استخدام متوسطات مناسبة

معادلة حجم التحكم دقيقة، لكن الحسابات العملية غالبًا ما تستخدم السرعات المتوسطة، والمقاطع المنتظمة، وتوزيعات الضغط المبسطة. وقد تكون هذه التقريبات غير كافية عندما يكون الجريان في طور تطور شديد، أو مضطربًا، أو منفصلًا، أو متعدد الأطوار.

قد تكون هناك حاجة إلى معاملات تصحيح مقطع السرعة عندما يكون توزيع السرعة بعيدًا عن الانتظام.

لا يمكن استبدال الضغط بالقص أو العكس

الضغط إجهاد عمودي، في حين أن القص اللزج إجهاد مماسي. ويمكن أن يؤدي اعتبار جميع قوى السطح قوى ضغط إلى محصلة قوة غير صحيحة والتقليل من تقدير الفواقد الاحتكاكية.

وعلى العكس، فإن تضمين قص الجدار عندما يكون مهملًا قد يضيف تعقيدًا غير ضروري دون تحسين النتيجة.

يؤثر حجم التحكم المختار في الحساب

ينبغي وضع سطح التحكم في موضع تكون فيه الضغوط والسرعات ومعدلات التدفق معروفة أو يمكن تقديرها بصورة موثوقة. وقد يؤدي اختيار حجم تحكم غير مناسب إلى إدخال قوى جدار مجهولة أو واجهات غير ضرورية.

بالنسبة إلى المعدات التي تحتوي على مكونات داخلية، يمكن أن يؤدي اختيار حدود تحيط بالجهاز بأكمله إلى تبسيط الموازنة من خلال استبدال القوى الداخلية بقوة خارجية محصلة.

لا يحل تحليل الزخم محل تحليل الطاقة

يحدد حفظ الزخم القوى والتغيرات في الزخم، لكنه لا يحدد بمفرده تغيرات درجة الحرارة أو انتقال الحرارة أو فواقد الطاقة الميكانيكية. ويلزم استخدام موازنات الطاقة لتحليل المعدات الحرارية، وقدرة المضخات، والمبادلات الحرارية.

في التصميم الكامل لعمليات تشغيل الوحدات، تُستخدم موازنات الكتلة والزخم والطاقة معًا.

اختيار النهج المناسب لهدفك

استخدم معادلة زخم حجم التحكم من خلال تحديد حجم التحكم، وتعيين تدفقات الزخم عند المداخل والمخارج، وتقييم كل مساهمة من قوى الجسم وقوى السطح.

• إذا كان تركيزك الأساسي هو التنبؤ بانخفاض الضغط: أدرج مساهمات الضغط وقص الجدار بعناية، واستخدم علاقات مناسبة لمقطع السرعة أو لمعامل الاحتكاك.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو تصميم المضخات والأنابيب: طبّق موازنة الزخم في الحالة المستقرة لتحديد قوى الضغط، وقوى رد فعل المعدات، وأحمال الدعامات.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو الأنظمة الرأسية أو الهيدروستاتيكية: أدرج حد قوة الجسم (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) وخذ تأثيرات الارتفاع في الاعتبار بصورة صريحة.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو التوسيع من النطاق التجريبي إلى نطاق المصنع: اجمع موازنات الزخم مع موازنات الاستمرارية والطاقة بحيث يُقيَّم توزيع الجريان، وفواقد الضغط، والتأثيرات الحرارية بصورة متسقة.

يحوّل حجم التحكم المختار جيدًا حفظ زخم المائع إلى رابط مباشر وكمي بين سلوك الجريان والقوى المؤثرة في معدات العمليات.

جدول الملخص:

هل تعمل على تصميم أو تحديث معدات جريان الموائع؟ تواصل مع LABPARK للحصول على وحدات تجريبية تعليمية ومهنية لعمليات تشغيل الوحدات، مصممة وفق احتياجاتك. نحن ندعم الجامعات، ومعاهد البحوث، والمؤسسات من خلال وحدات تجريبية للهندسة الكيميائية، والعمليات الحيوية والتقنية الحيوية، ومعالجة البيئة والمياه. وتساعدك حلولنا على تقييم فواقد الضغط، وقوى المعدات، وسلوك الجريان، وأداء التوسيع من خلال أنظمة مختبرية وتجريبية عملية وموثوقة.