يتم تحديد سرعة الترسيب النهائية عن طريق موازنة قوة الجاذبية الصافية للجسيم مع قوة السحب (الإعاقة) للمائع. بالنسبة لجسيم كروي في نطاق رقم رينولدز المنخفض، يعطي هذا قانون ستوكس:

[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]

حيث (U_t) هي السرعة النهائية، و(D_p) هو قطر الجسيم، و(\rho_p) و(\rho_f) هما كثافة الجسيم والمائع على التوالي، و(\mu) هي لزوجة المائع. في المحطات التجريبية، يقوم الطلاب عادةً بحساب هذه القيمة، والتحقق من نظام التدفق المطبق، ومقارنتها بالسرعة المقاسة في عمود الترسيب أو خزان الترسيب.

الطريقة الأساسية هي توازن القوى، ولكن قانون ستوكس صالح فقط عندما تهيمن قوة السحب اللزجة. بالنسبة للجسيمات الأكبر حجمًا أو الموائع ذات اللزوجة المنخفضة، يعتمد معامل السحب على رقم رينولدز، لذا يجب إيجاد السرعة عن طريق اختيار أو تكرار نظام السحب المناسب.

كيف يحدد توازن القوى السرعة النهائية

قوة الجاذبية الصافية أو قوة الطفو

بالنسبة لجسيم كروي يترسب عبر مائع، تقابل قوة الجاذبية الهابطة قوة الطفو. القوة المحركة الناتجة هي:

[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]

حيث (R) هو نصف قطر الجسيم.

إذا كانت (\rho_p>\rho_f)، يترسب الجسيم. وإذا كانت (\rho_p<\rho_f)، فإنه يرتفع، وينعكس اتجاه السرعة.

السحب الهيدروديناميكي

أثناء تحرك الجسيم، يمارس المائع قوة سحب تعاكس حركته. في ظروف تدفق ستوكس، تكون قوة السحب على الكرة هي:

[ F_D=6\pi\mu R U_t ]

عند السرعة النهائية، يتوقف التسارع لأن القوة الصافية تساوي صفراً:

[ F_{\text{net}}=F_D ]

بالتعويض عن تعبيري القوتين نحصل على:

[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)

6\pi\mu R U_t ]

وبالتالي:

[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]

باستخدام (D_p=2R)، تصبح المعادلة نفسها:

[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]

متى ينطبق قانون ستوكس

رقم رينولدز المنخفض للجسيم

رقم رينولدز للجسيم هو:

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

بالنسبة لأرقام رينولدز المنخفضة جداً، وعادة ما تكون (Re_p<0.3) في المعالجة المخبرية للترسيب، يتبع السحب اللزج قانون ستوكس بدقة.

في هذا النظام، تكون التأثيرات القصور الذاتي مهملة وتتحكم اللزوجة في مقاومة الحركة.

معنى المعادلة

تُظهر نتيجة ستوكس أن السرعة النهائية:

تزداد مع مربع قطر الجسيم.
تزداد خطياً مع فرق الكثافة.
تزداد مع تسارع الجاذبية.
تنخفض مع زيادة لزوجة المائع.

وهكذا، فإن مضاعفة قطر الجسيم تزيد السرعة المتوقعة بمقدار أربعة أضعاف، بشرط أن يظل الجسيم في نظام ستوكس.

كيف تحدد تجارب المحطات التجريبية السرعة

القياس بعمود الترسيب

يتم إدخال معلق معروف في عمود ترسيب شفاف أو وعاء ترسيب. يتم تسجيل موضع الجسيم أو الواجهة كدالة في الزمن.

بمجرد أن يتجاوز الجسيم فترة تسارعه الأولية، يتغير موضعه خطياً تقريباً مع الزمن. يعطي ميل هذا الجزء السرعة النهائية المقاسة:

[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]

حيث (\Delta z) هي مسافة الترسيب المقاسة.

مقارنة القيم المقاسة والمحسوبة

يقوم الطلاب عادةً بحساب (U_t) من حجم الجسيم، وكثافته، ولزوجته، والجاذبية قبل إجراء التجربة. ثم تتم مقارنة السرعة المقاسة بالقيمة النظرية.

يمكن أن تنشأ الاختلافات بسبب توزيع أحجام الجسيمات، أو الجسيمات غير الكروية، أو تأثيرات الجدران، أو تركيز المعلق، أو التكتل، أو تغير درجة الحرارة، أو عدم الوصول إلى الحركة النهائية.

تقدير أداء الفصل

تساعد السرعة النهائية في تحديد ما إذا كان سيتم إزالة الجسيم خلال وقت البقاء المتاح:

[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]

حيث (H) هي مسافة الترسيب في الظروف المثالية ذات الصلة.

تدعم هذه العلاقة التحليل الأولي لخزانات الترسيب، وأجهزة التصفية، والمكثفات، ومعدات توضيح الخلايا.

كيف يتم اختيار نظام السحب الصحيح

الاعتماد الدائري

بالنسبة للظروف خارج نظام ستوكس، تعتمد السرعة النهائية على معامل السحب. يعتمد معامل السحب على رقم رينولدز، لكن رقم رينولدز نفسه يحتوي على السرعة النهائية المجهولة:

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

وبالتالي، لا يمكن دائماً حساب السرعة مباشرة من معادلة صريحة واحدة.

طريقة مجموعة الاحتكاك

معامل الفحص المريح هو:

[ K

D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]

تشير قيمة (K) إلى نظام الترسيب المحتمل:

(K<3.3): نظام صفائحي أو نظام ستوكس
(3.3<K<43.6): نظام انتقالي أو نظام ألين
(K>43.6): نظام مضطرب أو نظام نيوتن

تعتبر هذه الحدود إرشادات تعليمية مفيدة، ولكن يجب تأكيد النظام النهائي باستخدام رقم رينولدز المحسوب وارتباط السحب المستخدم.

إجراء التجربة والتحقق

يتبع حساب المحطة التجريبية النموذجي هذا التسلسل:

حدد (D_p)، و(\rho_p)، و(\rho_f)، و(\mu)، و(g).
قدّر النظام المحتمل باستخدام (K) أو افتراض أولي لرقم رينولدز.
احسب (U_t) باستخدام معادلة الترسيب المقابلة.
احسب (Re_p) باستخدام تلك السرعة.
تحقق مما إذا كان رقم رينولدز يتوافق مع النظام المفترض.
كرر العملية مع ارتباط آخر إذا كان الافتراض غير متسق.

هذا الإجراء مهم بشكل خاص للجسيمات التي تقع في المنطقة الانتقالية.

ما تعلمه المحطة التجريبية أبعد من المعادلة

تأثير خصائص المائع

تؤدي زيادة اللزوجة إلى إبطاء الترسيب لأن المائع يوفر مقاومة أكبر لحركة الجسيم. تؤدي زيادة فرق الكثافة بين الجسيم والمائع إلى زيادة القوة المحركة وبالتالي زيادة سرعة الترسيب.

يمكن أن تؤثر درجة الحرارة على اللزوجة بشكل كبير، لذا يجب تسجيل درجة حرارة المائع أثناء التجارب.

تأثير حجم وشكل الجسيمات

تفترض المعادلة المثالية جسيمات كروية ذات قطر معروف. قد تكون المواد الصلبة الحقيقية غير منتظمة أو مسامية أو متكتلة.

بالنسبة للجسيمات غير الكروية، غالباً ما تكون سرعة الترسيب المقاسة أقل من سرعة كرة ذات حجم مكافئ لأن السحب الفعال أعلى.

المعلقات المخففة مقابل المركزة

يصف توازن القوى للجسيم الواحد الترسيب الحر المعاق، حيث تكون الجسيمات منفصلة بما يكفي بحيث لا تزعج بعضها البعض بقوة.

عند تركيزات أعلى، تغير تفاعلات الجسيمات وإزاحة المائع سلوك الترسيب. قد تمثل سرعة الواجهة المقاسة حينئذٍ ترسيباً معاقاً أو ترسيباً نطاقياً بدلاً من السرعة النهائية لكرة معزولة.

فهم المقايضات

قانون ستوكس بسيط ولكنه محدود

قانون ستوكس شفاف ومفيد للغاية لتدريس توازنات القوى، واتجاهات القياس، وسلوك أرقام رينولدز المنخفضة. يصبح غير موثوق به عندما يكون قصور الجسيمات كبيراً أو عندما يكون المعلق مركزاً.

استخدامه تلقائياً لكل حجم جسيم يمكن أن ينتج أوقات ترسيب وتوقعات فصل غير صحيحة.

قد تختلف السرعات النظرية والمقاسة

نادراً ما تعمل المحطة التجريبية مثل مائع ساكن لا نهائي. يمكن أن تؤثر جدران الوعاء، واضطرابات المدخل، والاضطراب، والدوائر القصيرة، وتغير حجم الجسيمات، وعدم اليقين في أخذ العينات على النتيجة.

لذلك يجب تفسير القيمة التجريبية كخاصية للمعدات المحددة وظروف التشغيل، وليس كثابت جسيم عالمي.

الجاذبية لا توفر التسارع دائماً

في الترسيب العادي، (g) هو تسارع الجاذبية. في الطرد المركزي، يتم استبدال التسارع الفعال بالتسارع الطردي المحلي.

ينطبق نفس مبدأ توازن القوى، ولكن قد يختلف التسارع مع الموضع الشعاعي في المعدات.

فصل الغاز عن السائل يستخدم معالجة عملية مختلفة

بالنسبة لقطرات السائل التي تترسب عبر غاز، تختلف نسب الكثافة وسلوك السحب بشكل كبير عن ترسيب السائل والصلب. يستخدم تصميم الفاصل عادةً عامل سحب أو معامل سحب مرتبط برقم رينولدز بدلاً من تطبيق معادلة ستوكس للسائل والصلب بشكل عشوائي.

يظل المبدأ الحاكم كما هو: يتم موازنة الوزن المعدل بالطفو بواسطة السحب عند الحركة النهائية.

كيفية تطبيق ذلك على تجربة المحطة التجريبية الخاصة بك

استخدم النهج التالي وفقاً للغرض من التمرين:

إذا كان تركيزك الأساسي هو نظرية رقم رينولدز المنخفض: طبق توازن القوى واستخدم (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu))، ثم تحقق من أن (Re_p) الناتج يقع ضمن نطاق ستوكس.
إذا كان تركيزك الأساسي هو القياس التجريبي: حدد ميل موضع الجسيم أو الواجهة مقابل الزمن في منطقة الترسيب النهائي وقارنه بالسرعة المحسوبة.
إذا كان تركيزك الأساسي هو تصميم المعدات: استخدم ارتباط السحب المناسب، ووقت البقاء، ومسافة الترسيب بدلاً من الاعتماد على قانون ستوكس دون التحقق من نظام التدفق.
إذا كان تركيزك الأساسي هو التوسع (Scale-up): سجل توزيع حجم الجسيمات، والتركيز، ودرجة الحرارة، وخصائص المائع، وهندسة الوعاء لأن هذه العوامل تحدد ما إذا كان السلوك المخبري يمثل التشغيل التجريبي أو الصناعي.

يجمع تحديد السرعة النهائية الموثوق بين توازن القوى، والتحقق من النظام، والمقارنة المباشرة مع قياسات المحطة التجريبية.

جدول الملخص:

الجانب الرئيسي	النقطة الأساسية
المبدأ الحاكم	تحدث السرعة النهائية عندما يساوي الوزن المغمور قوة السحب الهيدروديناميكية.
قانون ستوكس	`Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu` لأرقام رينولدز المنخفضة للجسيمات.
المتغيرات الرئيسية	قطر الجسيم، فرق الكثافة، لزوجة المائع، والجاذبية.
التحقق من النظام	احسب `Rep` وتأكد مما إذا كان سحب ستوكس أو الانتقالي أو المضطرب ينطبق.
الطريقة التجريبية	قياس ميل موضع الجسيم أو الواجهة مقابل الزمن في منطقة الترسيب النهائي.
استخدام الفصل	تقدير وقت الترسيب وتقييم أداء خزان الترسيب، والموضح، والمكثف.
مصادر الخطأ	شكل الجسيم، توزيع الحجم، تأثيرات الجدار، التركيز، درجة الحرارة، وعدم اكتمال الحركة النهائية.
بيانات التوسع	تسجيل خصائص الجسيمات، تركيز المعلق، ظروف المائع، وهندسة الوعاء.

هل تخطط لتجربة تعليمية أو صناعية لفصل الجسيمات؟ اتصل بـ LABPARK لمناقشة المحطات التجريبية للوحدات التعليمية والمهنية للترسيب، وفصل الجسيمات عن الموائع، والمعالجة الحيوية والتكنولوجيا الحيوية، والتدريب على معالجة المياه والبيئة. تساعد LABPARK الجامعات ومعاهد البحوث والشركات على اختيار أنظمة محطات تجريبية عملية تدعم عروض توازن القوى، وقياسات سرعة الترسيب، والتحقق من نظام السحب، وتقييم العمليات، ودراسات التوسع. يمكن لفريقنا المساعدة في مطابقة تكوين المعدات، والأجهزة، وظروف التشغيل مع أهدافك التعليمية أو البحثية أو الإنتاجية.