بالنسبة لتدفقات الموائع اللزجة، تتم صياغة توازن الطاقة عن طريق فصل الطاقة الكلية إلى مساهمات حرارية وميكانيكية. تتتبع معادلة الطاقة الكلية الطاقة الداخلية والحركية والكامنة، مع مراعاة التوصيل الحراري والشغل الناتج عن الضغط والإجهادات اللزجة. يؤدي طرح توازن الطاقة الميكانيكية إلى كشف التأثيرات الحرارية للضغط أو التمدد والتحويل غير القابل للانعكاس للطاقة الميكانيكية إلى حرارة من خلال التبدد اللزج.

تجمع الصياغة الحاكمة بين توازن الطاقة الكلية وتوازن الطاقة الميكانيكية. بالنسبة للموائع اللزجة، يجب أن تتضمن معادلة الطاقة الداخلية التوصيل الحراري، وتأثيرات شغل الضغط، ومصطلح التبدد اللزج (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v})، والذي يمكن أن يكون مهماً في العمليات ذات اللزوجة العالية أو القص العالي.

ابدأ بتوازن الطاقة الكلية

طاقة جزيء المائع

الطاقة الكلية الجوهرية لكل وحدة كتلة هي

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

حيث (u) هي الطاقة الداخلية، و(v^2/2) هي الطاقة الحركية، و(gz) هي الطاقة الكامنة.

بالنسبة لجزيء المائع، يمكن كتابة توازن القانون الأول كـ

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

حيث (\rho) هي الكثافة، و(\mathbf{q}) هو تدفق الحرارة التوصيلي، و(\boldsymbol{\sigma}) هو موتر الإجهاد الكلي، و(\mathbf{b}) هي قوة الجسم لكل وحدة كتلة، و(\dot{q}_v) تمثل أي مصدر حراري حجمي.

التوصيل الحراري

يحدد قانون فوريه تدفق الحرارة التوصيلي:

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

لذلك، فإن المساهمة التوصيلية في توازن الطاقة هي

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

بالنسبة للموصلية الحرارية الثابتة، يصبح هذا (k\nabla^2T).

عند جدار صلب ثابت، تكون سرعة المائع عند الجدار صفراً بموجب شرط عدم الانزلاق. وبالتالي يتم تمثيل انتقال الحرارة عبر الحدود بواسطة التدفق التوصيلي العمودي على الجدار:

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

يحدد تدرج درجة حرارة الجدار معدل انتقال الحرارة المحلي المستخدم في المبادلات الحرارية، والمبخرات، وملفات التبريد، وسترات المفاعلات.

شغل الإجهاد

يتم تحليل موتر الإجهاد عادةً كـ

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

حيث (P) هو الضغط و(\boldsymbol{\tau}) هو موتر الإجهاد الانحرافي أو اللزج.

يتضمن مصطلح شغل الإجهاد كلاً من شغل الضغط وشغل الإجهاد اللزج. هذا التمييز ضروري لأن شغل الضغط يمثل في المقام الأول انتقال الطاقة الميكانيكية القابل للانعكاس، في حين أن الإجهاد اللزج يمكن أن يولد طاقة حرارية بشكل غير قابل للانعكاس.

اشتقاق توازن الطاقة الحرارية

صيغة الطاقة الداخلية

بعد فصل الطاقة الحركية والكامنة عن معادلة الطاقة الكلية واستخدام توازن الزخم، تكون معادلة الطاقة الداخلية هي

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

هنا، (\mathbf{v}) هو مجال السرعة والنقطتان تشيران إلى الانكماش المزدوج لموترين.

للمصطلحات معانٍ فيزيائية مباشرة:

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): صافي الحرارة التوصيلية الداخلة إلى عنصر المائع.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): شغل الضغط-الحجم القابل للانعكاس.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): التحويل اللزج غير القابل للانعكاس للطاقة الميكانيكية إلى طاقة داخلية.
• (\dot{q}_v): توليد حرارة حجمي محدد خارجياً.

صيغة درجة الحرارة-الضغط

بالنسبة لمائع ذي خصائص ديناميكية حرارية محددة، يمكن التعبير عن تفاضل الطاقة الداخلية بدلالة درجة الحرارة والضغط. صيغة مفيدة للتوازن الحراري هي

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

يعتمد معامل الضغط الدقيق على المتغيرات الديناميكية الحرارية ومعادلة الحالة المستخدمة. المساهمات الفيزيائية المهمة هي التأثير الحراري المستحث بالضغط والتبدد اللزج.

بالنسبة لـ (k) ثابتة، يمكن كتابة المصطلح التوصيلي كـ

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

تأثيرات الانضغاط والضغط

يصف المصطلح الذي يتضمن (DP/Dt) التسخين أو التبريد القابل للانعكاس المرتبط بالضغط والتمدد. يكون هذا مهماً بشكل أكبر عندما تتغير الكثافة بشكل ملحوظ، كما هو الحال في الغازات، والسوائل القابلة للانضغاط، وعابرات الضغط السريعة، أو المعدات المضغوطة بشدة.

بالنسبة لسائل غير قابل للانضغاط ذي خصائص ثابتة تقريباً، غالباً ما تكون مساهمة الضغط-درجة الحرارة هذه ضئيلة في المعادلة الحرارية. ومع ذلك، يمكن أن يظل الضغط مهماً في توازن الطاقة الميكانيكية المنفصل.

مراعاة التبدد اللزج

مصطلح التسخين اللزج العام

المصطلح

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

هو المعدل الذي يتم به تحويل الطاقة الميكانيكية اللزجة إلى حرارة لكل وحدة حجم.

وهو غير سالب لمائع نيوتوني مقبول فيزيائياً ويمثل تسخيناً داخلياً غير قابل للانعكاس ناتجاً عن تدرجات السرعة.

الموائع النيوتونية

بالنسبة لمائع نيوتوني،

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

حيث (\mu) هي اللزوجة الديناميكية و(\lambda) هو معامل اللزوجة الثاني.

وبالتالي فإن دالة التبدد هي

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

بالنسبة للتدفق غير القابل للانضغاط ذي اللزوجة الثابتة، يتم التعبير عنها عادةً باستخدام موتر معدل التشوه (\mathbf{D}):

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

لماذا تهم اللزوجة في عمليات الوحدات

في التدفقات ذات اللزوجة المنخفضة والقص المنخفض، قد يكون التسخين اللزج صغيراً مقارنة بالحرارة المتبادلة عبر جدار المعدات. في البوليمرات، والزيوت الثقيلة، والسوائل البيولوجية المركزة، وعمليات الخلط المكثفة، يمكن أن يصبح مصدراً رئيسياً للحرارة الداخلية.

النتيجة هي أن درجة حرارة المائع قد ترتفع حتى عندما يتم تبريد المعدات خارجياً. إن إغفال (\Phi_v) في مثل هذه الأنظمة يمكن أن يؤدي إلى درجات حرارة مخرج غير صحيحة، ومعاملات انتقال حرارة خاطئة، وتوقعات زمن البقاء، ومتطلبات قدرة التبريد.

صياغة توازن الطاقة الميكانيكية

الطاقة الميكانيكية لكل وحدة كتلة

يتم تمثيل محتوى الطاقة الميكانيكية للمائع المتدفق عادةً بمصطلحات الضغط، والحركية، والكامنة:

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

بالنسبة للتدفق المستقر عبر عملية وحدة، فإن توازن الطاقة الميكانيكية العملي لكل وحدة كتلة هو

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

حيث (w_s) هو شغل العمود المورد للمائع و(F) هو فقدان الطاقة الميكانيكية لكل وحدة كتلة الناتج عن الاحتكاك والتأثيرات الأخرى غير القابلة للانعكاس.

إعادة الترتيب تعطي

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

تعتمد إشارة (w_s) على الاصطلاح المستخدم. تحدد المعادلة أعلاه (w_s) الموجب كشغل مورد للمائع.

التوازن الميكانيكي التفاضلي

يمكن اشتقاق صيغة تفاضلية من معادلة الزخم عن طريق إسقاط شغل الإجهاد على مجال السرعة. وهي تأخذ في الاعتبار شغل تدرج الضغط، وشغل قوة الجسم، وتغيرات الطاقة الحركية، وشغل العمود، والخسائر اللزجة.

في حسابات المصانع التجريبية العملية، تكون الصيغة المتكاملة عادةً أكثر فائدة لأنها تربط مباشرة شغل المضخة أو الضاغط بارتفاع الضغط، وتغير السرعة، وتغير الارتفاع، وفقدان الاحتكاك.

التوازن الميكانيكي للتدفق غير القابل للانضغاط

بالنسبة لتدفق السوائل ذي الكثافة الثابتة، التعبير المستخدم عادةً هو

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

الضرب في معدل تدفق الكتلة يعطي متطلبات قدرة العمود:

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

تدعم هذه العلاقة اختيار المضخة والتنبؤ بفقدان الضغط عبر الأنابيب، والوصلات، والمبادلات الحرارية، والمرشحات، والخلاطات، والوحدات الأخرى.

ربط الخسائر الميكانيكية بالتوليد الحراري

الاحتكاك ليس تلقائياً تدفقاً حرارياً عبر الجدار

يمثل مصطلح الاحتكاك (F) تدهور الطاقة الميكانيكية. لا ينبغي إدراجه تلقائياً في التوازن الحراري كحرارة منتقلة عبر الجدار.

يتم تحويل جزء من الطاقة الميكانيكية المفقودة محلياً إلى طاقة داخلية من خلال التبدد اللزج. قد يتم نقل الباقي بواسطة المائع وانتقاله في النهاية إلى أسطح المعدات أو المحيط.

التوازنات المحلية مقابل الإجمالية

تستخدم المعادلة الحرارية التفاضلية مصطلح التوليد المحلي

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

يستخدم التوازن الميكانيكي الإجمالي الفقد المتكامل (F). ترتبط هذه الكميات من خلال التكامل المكاني، لكنها ليست قابلة للتبادل دون النظر في مجال التدفق وحجم التحكم.

يمنع هذا التمييز الحساب المزدوج للتسخين الاحتكاكي عند تطبيق كل من التوازنات الحرارية والميكانيكية على نفس عملية الوحدة.

الحرارة والشغل هما نمطان مختلفان للانتقال

تعبر الحرارة حدود النظام بسبب فرق درجة الحرارة. يعبر الشغل الحدود من خلال القوى الميكانيكية، أو الكهربائية، أو الضغط، أو قوى العمود.

توفر المضخة أو المحرك الشغل للعملية، بينما تزيل سترة التبريد الحرارة. حقيقة أن الشغل الميكانيكي قد يظهر في النهاية كطاقة حرارية لا تجعل انتقال شغل العمود الأصلي انتقالاً حرارياً.

فهم المقايضات

تقريبات عدم الانضغاط

بالنسبة للعديد من عمليات وحدات السوائل، يتم التعامل مع الكثافة واللزوجة والموصلية الحرارية كثوابت. هذا يبسط التوازن الحراري إلى

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

هذا التقريب مناسب فقط عندما تكون التغيرات في الكثافة والخصائص المستحثة بالضغط غير ذات أهمية عبر نطاق التشغيل.

إهمال التبدد اللزج

يؤدي حذف المصطلح اللزج إلى تقليل المعادلة إلى توازن حمل-توصيل تقليدي. غالباً ما يكون ذلك معقولاً للموائع ذات اللزوجة المنخفضة، لكنه قد يكون غير آمن للممرات الضيقة، أو سرعات الدوران العالية، أو الخلط المكثف، أو المواد ذات القص المرقق بشدة.

المقارنة ذات الصلة هي بين توليد الحرارة اللزجة وإزالة الحرارة من الجدار، وليس اللزوجة وحدها.

افتراضات الحالة المستقرة

في الحالة المستقرة، قد يتلاشى التراكم المحلي، لكن النقل بالحمل، والتوصيل، وتأثيرات الضغط، والتبدد اللزج، وتبادل الحرارة يمكن أن تظل مهمة.

الحالة المستقرة لا تعني أن التوازن الحراري ضئيل. بل تعني أن مجال درجة الحرارة لم يعد يتغير مع الوقت في موقع ثابت.

تبسيطات من نوع برنولي

إذا كانت الخسائر اللزجة، وشغل العمود، والتأثيرات الحرارية، والانضغاطية ضئيلة، فإن التوازن الميكانيكي يقل إلى علاقة من نوع برنولي. هذا مفيد للتدفق المثالي، لكنه غير كافٍ بشكل عام لتحجيم المضخات الحقيقية أو تحليل المعدات ذات اللزوجة العالية.

كيفية تطبيق ذلك على مشروعك

يعتمد التوازن الصحيح على ما إذا كان الهدف هو التنبؤ بدرجة الحرارة، أو حساب شغل المعدات، أو تقييم كلا التأثيرين معاً.

• إذا كان تركيزك الأساسي هو التنبؤ بدرجة الحرارة: استخدم معادلة الطاقة الداخلية أو درجة الحرارة مع التوصيل، والحمل، والتأثيرات الحرارية المستحثة بالضغط حيثما كان ذلك مناسباً، والتبدد اللزج، وتوليد الحرارة الحجمي.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو تحجيم المضخة أو الضاغط: استخدم توازن الطاقة الميكانيكية مع تغير الضغط، وتغير الطاقة الحركية، وتغير الارتفاع، وفقدان الاحتكاك، وشغل العمود.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو التشغيل عالي اللزوجة أو عالي القص: احتفظ بـ (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) وقم بتقييم ما إذا كان التسخين اللزج يغير مجال درجة الحرارة مادياً.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو التدفق القابل للانضغاط أو المضغوط بسرعة: احتفظ بالمصطلح الديناميكي الحراري (DP/Dt) واستخدم معادلة حالة ونموذج خصائص متسقين.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو واجب عملية وحدة إجمالية: اجمع بين التوازن الحراري المحلي والتوازن الميكانيكي المتكامل مع تجنب الحساب المزدوج للطاقة الاحتكاكية.

تحافظ الصياغة الموثوقة على النقل الحراري، والطاقة الميكانيكية، وتحويلهما غير القابل للانعكاس مرتبطة بشكل صريح ولكن متميزة فيزيائياً.

جدول الملخص:

هل تحتاج إلى تصميم أو تقييم عملية وحدة لتدفق المائع اللزج؟ اتصل بـ LABPARK للحصول على محطات تجريبية لعمليات الوحدات التعليمية والمهنية المصممة خصيصاً لتطبيقك. تدعم LABPARK الجامعات، ومعاهد البحوث، والمؤسسات بمحطات تجريبية للهندسة الكيميائية، والعمليات الحيوية والتكنولوجيا الحيوية، وتطبيقات معالجة البيئة والمياه. تساعدك أنظمتنا في تقييم الأداء الحراري، والتسخين اللزج، وفقدان الضغط، ومتطلبات المضخة والخلاط، وقرارات التوسع باستخدام معدات عملية تركز على التطبيق.