بالنسبة إلى الجريان الزاحف حول جسيم كروي، يُعطى السحب الهيدروديناميكي الكلي بقانون ستوكس، (F_D = 6\pi \mu R U)، حيث إن (\mu) هي لزوجة المائع، و(R) نصف قطر الجسيم، و(U) السرعة النسبية بين الجسيم والمائع. تُحصل القوة الكلية بتكامل إجهاد المائع على كامل السطح الكروي. تساهم قوى الضغط بثلث القوة، (F_{D,p}=2\pi\mu R U)، بينما تساهم قوى القص اللزج بثلثي القوة، (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).

في الجريان الزاحف، يتناسب سحب الكرة خطيًا مع اللزوجة وحجم الجسيم والسرعة النسبية. وعلى الرغم من إهمال القصور الذاتي، يظل مجال الضغط المحيط يساهم بثلث السحب؛ بينما يساهم قص السطح في الثلثين المتبقيين.

تحديد نظام الجريان الزاحف

عدد رينولدز ذي الصلة

ينطبق الجريان الزاحف عندما يكون عدد رينولدز للجسيم أقل بكثير من الواحد:

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

حيث إن (\rho) هي كثافة المائع و(d=2R) هو قطر الجسيم.

عند أعداد رينولدز المنخفضة جدًا هذه، تكون تأثيرات القصور الذاتي مهملة مقارنةً بالتأثيرات اللزجة. ويخضع الجريان أساسًا للتوازن بين تدرجات الضغط والإجهادات اللزجة.

معنى السرعة النسبية

السرعة (U) في قانون ستوكس هي السرعة النسبية بين الجسيم والمائع المحيط. وبالنسبة إلى جسيم ساكن في مائع متحرك، فإن (U) هي سرعة المائع المحلية بالنسبة إلى الجسيم.

وبالنسبة إلى جسيم يترسب، فإن (U) هي سرعة الجسيم بالنسبة إلى المائع، وغالبًا ما تُقيّم عند السرعة النهائية عندما تكون القوة المحصلة مساوية للصفر.

حساب السحب الهيدروديناميكي الكلي

قانون ستوكس

مقدار السحب الكلي المؤثر على كرة هو

[ F_D=6\pi\mu R U ]

وباستخدام القطر بدلًا من نصف القطر، نحصل على الصيغة المكافئة

[ F_D=3\pi\mu d U ]

يؤثر السحب في الاتجاه المعاكس للحركة النسبية للجسيم خلال المائع.

تكامل القوى السطحية

تنشأ القوة المؤثرة على الجسيم من شد المائع المؤثر على سطحه. ويتكون هذا الشد من مركبتين:

[ \text{الشد السطحي}= \text{شد الضغط العمودي} + \text{الشد اللزج المماسي} ]

يؤدي تكامل المركبتين على السطح الكروي إلى

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

بالنسبة إلى كرة في جريان زاحف،

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

وبالتالي،

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

المساهمات النسبية للضغط والقص

مساهمة الضغط

ينتج توزيع الضغط حول الكرة

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

وبالنسبة إلى السحب الكلي،

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

وبذلك، يمثل الضغط نحو 33.3% من السحب الكلي.

لا يُعد مجال الضغط هذا تأثير سحب شكلي ناتجًا عن القصور الذاتي بالمعنى المعتاد عند أعداد رينولدز العالية. فعلى الرغم من إهمال القصور الذاتي، يتطلب الجريان اللزج حول الكرة وجود تدرج في الضغط، وينتج عن توزيع الضغط هذا مركبة قوة محصلة في الاتجاه المعاكس للحركة.

مساهمة إجهاد القص

تنتج الإجهادات اللزجة المماسية عند سطح الجسيم

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

وتكون نسبتها من السحب الكلي

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

لذلك، يمثل القص اللزج نحو 66.7% من السحب الكلي.

وتعكس هذه المساهمة الأكبر شرط عدم الانزلاق عند سطح الجسيم. إذ تتغير سرعة المائع بسرعة من سرعة سطح الجسيم إلى سرعة الجريان المحيط، مما ينشئ تدرجات في السرعة وإجهاد قص جداري مماسي.

نسبة الثلث إلى الثلثين

يمكن تلخيص توزيع القوة كما يلي:

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{الضغط: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{القص: }2/3} ]

ومن ثم، تكون نسبة سحب الضغط إلى سحب القص

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

يُعد هذا التمييز مفيدًا في المعدات التعليمية، لأن حساسات الضغط وقياسات القوة قد تعكس أجزاء مختلفة من التفاعل الهيدروديناميكي نفسه.

ربط النتيجة بمعدات عمليات الوحدات

الترسيب والترويق

في تجارب الترسيب، يُستخدم قانون ستوكس لربط حجم الجسيم بلزوجة المائع وسرعة الترسيب. وعند سرعة الترسيب النهائية، يتوازن السحب مع الوزن الفعال للجسيم:

[ F_D=F_g-F_b ]

حيث إن (F_g) هو وزن الجسيم و(F_b) هي قوة الطفو.

يساعد حساب السحب الطلاب على تحليل كفاءة الترسيب وزمن المكوث وأداء أجهزة الترويق أو أعمدة الفصل.

قياسات الضغط التفاضلي

قد تقيس المعدات التجريبية فروق الضغط عبر قنوات الجريان أو الأقسام المحشوة أو أجهزة الفصل. وتمثل هذه القياسات قوى الضغط المرتبطة بزخم المائع والمقاومة اللزجة عبر المعدات، وليس بالضرورة مركبة الضغط من سحب كرة معزولة واحدة.

وبالتالي، ينبغي ألا يُفسر انخفاض الضغط المقاس تلقائيًا على أنه مساهمة الضغط البالغة الثلث في قانون ستوكس. فهندسة القياس وحجم التحكم يحددان القوى التي يجري تسجيلها.

قياسات إجهاد القص

يرتبط إجهاد القص الجداري بتدرج السرعة المحلي وفقًا للعلاقة

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

توضح هذه العلاقة المبدأ الفيزيائي نفسه المسؤول عن مساهمة القص في سحب الكرة: تنشأ القوة اللزجة من تدرجات السرعة عند السطح.

تُعد علاقات الألواح المستوية، مثل علاقات احتكاك الطبقة الحدية الصفائحية، مفيدة لتجارب الجريان في القنوات وعلى الجدران. ولا ينبغي استخدامها مباشرة بدلًا من نتيجة الجسيم الكروي، لأن الهندسة ومجال السرعة مختلفان.

فهم المفاضلات

لنطاق قانون ستوكس حد محدود لعدد رينولدز

تكون العلاقة (6\pi\mu R U) صالحة عندما يكون (Re_p\ll 1). ومع زيادة عدد رينولدز، يصبح القصور الذاتي مهمًا، ولا يعود السحب متناسبًا تناسبًا صارمًا مع السرعة.

عند أعداد رينولدز الأعلى، يمكن أن يؤدي تشكل الذيل وانفصال الجريان والسحب الضغطي الناتج عن القصور الذاتي إلى تغيير كبير في كل من السحب الكلي وتوزيع الضغط إلى القص.

شكل الجسيم مهم

تنطبق نسبة الثلث للضغط والثلثين للقص على كرة مثالية ملساء وصلبة في مائع نيوتني غير محدود من جميع الجهات. وقد يكون للجسيمات غير المنتظمة والألياف والقطرات والجسيمات الحيوية معاملات سحب وتوزيعات إجهاد مختلفة.

بالقرب من جدار أو داخل قناة ضيقة أو بين جسيمات متجاورة، تغير الحدود المحيطة الجريان وتزيد السحب أو تعدله بطرق أخرى.

يجب تطبيق خصائص المائع بصورة متسقة

يجب تقييم اللزوجة (\mu) عند ظروف درجة الحرارة والتركيب ذات الصلة. وبالنسبة إلى الموائع غير النيوتنية، قد لا يمثل حساب قانون ستوكس ذي اللزوجة الثابتة الواحدة مجال الإجهاد على مقياس الجسيم بدقة.

كما يجب أن يكون المائع مستمرًا بدرجة كافية على مقياس الجسيم حتى يكون تطبيق ميكانيكا الأوساط المستمرة مناسبًا. وقد تتطلب الجسيمات الصغيرة جدًا في الأنظمة المخلخلة أو متناهية الصغر تصحيحات تتجاوز النتيجة الكلاسيكية.

الضغط والقص ليسا نظامي جريان مستقلين

يُفصل الضغط والقص رياضيًا لتحديد مساهمتهما في القوة المتكاملة. لكنهما مرتبطان فيزيائيًا باعتبارهما جزأين من حل الجريان نفسه حول الكرة.

لذلك، يجب اشتقاق توزيع الضغط وتدرجات السرعة السطحية من مجال الجريان الزاحف الكامل، بدلًا من تقديرهما بصورة مستقلة من علاقات معدات غير مترابطة.

تطبيق ذلك على مشروعك

استخدم النهج التالي عند تحليل تجربة لجسيم كروي:

إذا كان تركيزك الأساسي على السحب الكلي للجسيم: احسب (F_D=6\pi\mu R U) باستخدام لزوجة المائع ونصف قطر الجسيم والسرعة النسبية بين الجسيم والمائع.
إذا كان تركيزك الأساسي على مساهمة قوة الضغط: استخدم (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3)، مع إدراك أن هذه مساهمة ضغط في جريان لزج وليست سحبًا شكليًا قصوريًا عند أعداد رينولدز العالية.
إذا كان تركيزك الأساسي على مساهمة احتكاك السطح: استخدم (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3)، وهي تمثل إجهاد القص المماسي المتكامل على سطح الجسيم.
إذا كان تركيزك الأساسي على التحقق من تجربة محطة تجريبية: تأكد من (Re_p\ll1)، وميّز بين السحب على مقياس الجسيم وانخفاض الضغط على مقياس المعدات، وخذ في الحسبان الجدران والجسيمات المجاورة والسلوك غير النيوتني.

بالنسبة إلى كرة مثالية في جريان زاحف، فإن النتيجة الحاكمة واضحة: ينشأ ثلث السحب الهيدروديناميكي من قوى الضغط، بينما ينشأ الثلثان من إجهادات القص اللزجة.

جدول الملخص:

الجانب الرئيسي	النتيجة
نظام الجريان	جريان زاحف، حيث يكون عدد رينولدز للجسيم (Re_p \ll 1)
السحب الكلي	(F_D = 6\pi\mu R U)
مساهمة الضغط	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U)، أو 1/3 (33.3%)
مساهمة القص	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U)، أو 2/3 (66.7%)
نسبة المساهمات	الضغط : القص = 1 : 2
التطبيقات الرئيسية	الترسيب والترويق وترسيب الجسيمات والتجارب التعليمية الهيدروديناميكية

هل تحتاج إلى معدات موثوقة لترسيب الجسيمات أو تحليل قوى السحب أو تعليم ميكانيكا الموائع؟ تواصل مع LABPARK لمناقشة متطلباتك. توفر LABPARK محطات تجريبية تعليمية ومهنية لعمليات الوحدات في مجالات الهندسة الكيميائية والعمليات الحيوية والتقنيات الحيوية وتطبيقات المعالجة البيئية ومعالجة المياه. تساعد أنظمتنا الجامعات ومعاهد البحوث والمؤسسات على عرض قانون ستوكس والترسيب والترويق وتأثيرات الضغط والقص اللزج من خلال تجارب عملية ذات صلة بالصناعة. اعمل مع LABPARK لاختيار محطة تجريبية مناسبة، وتكييف التكوين مع أهدافك التعليمية أو البحثية، وبناء قدرات تدريب عملي تعتمد على بيانات قابلة للقياس عن عمليات الموائع.