تتم نمذجة التوصيل الحراري العابر في عنصر تسخين كهربائي أسطواني باستخدام معادلة الحرارة الشعاعية، وتوليد حرارة جول الداخلية، وشرط حدودي للحمل الحراري عند السطح. بالنسبة لقضيب صلب طويل نصف قطره (R)، وخصائص ثابتة، وتوليد كهربائي منتظم، يتم تمثيل درجة الحرارة غير البعدية كملف تعريف شعاعي مستقر بالإضافة إلى سلسلة لا نهائية من أنماط دالة بيسل المتضائلة. يتم تحديد معدلات التضاؤل بواسطة قيم ذاتية تعتمد على رقم بيوت السطحي.

الفكرة الرئيسية هي فصل درجة الحرارة إلى حالة مستقرة للحرارة المولدة وتصحيح عابر. التناظر الأسطواني يجعل الدوال الذاتية المكانية (J_0(\lambda_n r))، بينما يحدد الحمل الحراري عند سطح القضيب القيم الذاتية من خلال (\lambda_n J_1(\lambda_n)=\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n)).

تعريف مشكلة التسخين الأسطواني

الافتراضات الفيزيائية

يفترض نموذج المحطة التجريبية الشائع الاستخدام ما يلي:

• عنصر التسخين عبارة عن أسطوانة طويلة، لذا فإن التأثيرات المحورية والطرفية مهملة.
• توليد الحرارة الكهربائية منتظم داخل الجسم الصلب.
• الموصلية الحرارية (k)، والكثافة (\rho)، والسعة الحرارية (C_p) ثابتة.
• درجة الحرارة الأولية منتظمة.
• تغادر الحرارة السطح الخارجي عن طريق الحمل الحراري إلى مائع العملية المحيط.

تكون هذه الافتراضات مناسبة عندما يكون طول القضيب أكبر بكثير من نصف قطره ولا تتغير الخصائص الكهربائية والمادية بشكل كبير مع درجة الحرارة.

التوليد الكهربائي الحجمي

يُكتب معدل توليد الحرارة الداخلي كـ (q''')، بوحدات (\mathrm{W/m^3}). بالنسبة لعنصر مقاوم، يمكن ربطه بالظروف الكهربائية من خلال

[ q'''=\sigma E^2 ]

حيث (\sigma) هي المقاومة الكهربائية و (E) هو المجال الكهربائي. يمكن كتابة تعبيرات مكافئة باستخدام التيار، والجهد، والمقاومة، وحجم العنصر.

معادلة الطاقة الحاكمة

مع التناظر الأسطواني، تكون معادلة الحرارة العابرة هي

[ \rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}

k\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right]+q''' ]

أو، باستخدام الانتشار الحراري (\alpha=k/(\rho C_p))،

[ \frac{\partial T}{\partial t}

\alpha\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right] +\frac{q'''}{\rho C_p}. ]

الإحداثي الشعاعي يحقق (0\le r\le R).

تطبيق الشروط الحدودية والأولية

شرط خط المنتصف

يجب أن تظل درجة الحرارة محدودة عند خط المنتصف. يتطلب التناظر أيضًا تدفق حراري شعاعي صفري:

[ \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0. ]

هذا الشرط يلغي دالة بيسل من النوع الثاني (Y_0)، والتي تكون متفردة عند (r=0).

شرط السطح بالحمل الحراري

عند السطح الخارجي، يوازن التوصيل داخل القضيب الحمل الحراري إلى المائع المحيط:

[ -k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}

h,[T(R,t)-T_\infty], ]

حيث (h) هو معامل انتقال الحرارة بالحمل و (T_\infty) هي درجة حرارة مائع العملية الكلي.

هذا هو شرط حدودي من نوع روبن، أو مختلط، لأنه يربط بين درجة الحرارة وتدرج درجة الحرارة.

الشرط الأولي

بالنسبة لقضيب مسخن مسبقًا بشكل منتظم أو بارد في البداية،

[ T(r,0)=T_i. ]

يحدد الشرط الأولي مدى قوة مساهمة كل نمط ذاتي عابر في الاستجابة اللاحقة.

الصياغة غير البعدية

المتغيرات غير البعدية

حدد نصف القطر والزمن ودرجة الحرارة غير البعدية كـ

[ r^*=\frac{r}{R}, \qquad Fo=\frac{\alpha t}{R^2}, \qquad \Theta=\frac{k(T-T_\infty)}{q'''R^2}. ]

يقيس رقم فوريه (Fo) الزمن المنقضي بالنسبة لزمن التوصيل الداخلي المميز.

رقم بيوت السطحي هو

[ \mathrm{Bi}=\frac{hR}{k}. ]

إنه يقارن المقاومة الحرارية الخارجية بالحمل بالمقاومة التوصيلية الداخلية.

المعادلة غير البعدية

تصبح المعادلة الحاكمة

[ \frac{\partial \Theta}{\partial Fo}

\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \Theta}{\partial r^} \right)+1. ]

الشروط الحدودية غير البعدية هي

[ \left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=0}=0 ]

و

[ -\left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=1}

\mathrm{Bi},\Theta(1,Fo). ]

بناء حل درجة الحرارة

ملف تعريف درجة الحرارة في الحالة المستقرة

في الحالة المستقرة، يكون المشتق الزمني صفرًا:

[ \frac{1}{r^} \frac{d}{dr^} \left( r^\frac{d\Theta_{ss}}{dr^} \right)+1=0. ]

تطبيق شروط خط المنتصف والسطح بالحمل يعطي

[ \Theta_{ss}(r^*)

\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{*2}). ]

يمثل المصطلح الأول ارتفاع درجة الحرارة المرتبط بالحمل من السطح إلى مائع العملية. يمثل المصطلح الثاني ارتفاع درجة الحرارة الشعاعي الناتج عن التوصيل الحراري من المركز إلى السطح.

التصحيح العابر

اكتب الحل الكامل كـ

[ \Theta(r^*,Fo)

\Theta_{ss}(r^)+\theta(r^,Fo). ]

يحقق التصحيح العابر معادلة الانتشار المتجانسة

[ \frac{\partial \theta}{\partial Fo}

\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \theta}{\partial r^} \right). ]

استخدام فصل المتغيرات يعطي

[ \theta(r^*,Fo)

\sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^*) e^{-\lambda_n^2 Fo}. ]

لذلك، حقل درجة الحرارة الكامل هو

[ \boxed{ \Theta(r^*,Fo)

\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{2}) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^) e^{-\lambda_n^2 Fo} } ]

حيث (J_0) هو دالة بيسل من النوع الأول والدرجة الصفرية.

معادلة القيمة الذاتية

تطبيق الشرط الحدودي للحمل الحراري على نمط (J_0(\lambda r^*)) ينتج

[ \lambda_n J_1(\lambda_n)

\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n), ]

أو بشكل مكافئ،

[ \lambda_n

\mathrm{Bi}, \frac{J_0(\lambda_n)}{J_1(\lambda_n)}. ]

يتم العثور على الجذور الموجبة (\lambda_n) عدديًا. يحدد كل جذر نمط درجة حرارة شعاعي واحد.

معاملات النمط

يتم الحصول على المعاملات عن طريق توسيع الانحراف الأولي عن الحالة المستقرة في أساس دالة بيسل:

[ A_n

\frac{ \displaystyle \int_0^1 r^* \left[\Theta(r^,0)-\Theta_{ss}(r^)\right] J_0(\lambda_n r^),dr^ }{ \displaystyle \int_0^1 r^J_0^2(\lambda_n r^),dr^* }. ]

عامل الوزن (r^*) مطلوب بواسطة الهندسة الأسطوانية وعلاقة التعامد للدوال الذاتية.

تفسير النموذج في محطة تجريبية

التنبؤ بوقت التسخين

النمط الأبطأ، المرتبط بأصغر قيمة ذاتية (\lambda_1)، يتحكم عادةً في الاستجابة المتأخرة:

[ \theta\sim A_1J_0(\lambda_1r^*)e^{-\lambda_1^2Fo}. ]

هذا يسمح للمهندسين بتقدير المدة التي يحتاجها العنصر للاقتراب من درجة حرارته المستقرة قبل إجراء حساب سلسلة كامل.

تقدير درجات حرارة السطح والمركز

يوفر النموذج درجة الحرارة في أي موقع شعاعي. على وجه الخصوص:

• يتم الحصول على درجة حرارة خط المنتصف عن طريق ضبط (r^*=0)، حيث (J_0(0)=1).
• يتم الحصول على درجة حرارة السطح عن طريق ضبط (r^*=1).
• تحدث أعلى درجة حرارة بشكل عام في المركز لأن الحرارة يجب أن تنتقل للخارج عبر القضيب.

تعتبر هذه التوقعات مهمة عندما يتم غمر السخان في مائع عملية، أو تضمينه في جدار، أو استخدامه لتزويد الحرارة لعملية وحدة مغلفة أو أنبوبية.

ربط النموذج بتدفق المائع

يعتمد رقم بيوت على معامل الحمل (h). في محطة تجريبية، قد يتغير (h) مع سرعة المائع، والتحريك، واللزوجة، ونظام التدفق.

يتم تمثيل هذه التأثيرات عادةً من خلال ارتباطات تشمل أرقام رينولدز ونوسيلت. وبالتالي فإن تغيير سرعة مائع العملية يغير (\mathrm{Bi})، والقيم الذاتية، ودرجة حرارة السطح، ووقت التسخين الإجمالي.

تقييم تقريب السعة المجمعة

عندما

[ \mathrm{Bi}<0.1, ]

غالبًا ما تكون تدرجات درجة الحرارة الداخلية صغيرة بما يكفي بحيث يمكن تقريب القضيب على أنه يتمتع بدرجة حرارة موحدة. يصبح حل سلسلة بيسل الكامل ضروريًا عندما تكون مقاومة التوصيل الداخلي كبيرة وتختلف درجات حرارة المركز والسطح بشكل ملحوظ.

توسيع النموذج للمعدات الحقيقية

عناصر التسخين ذات الطول المحدود

يهمل نموذج الأسطوانة الطويلة فقدان الحرارة عبر الأطراف. بالنسبة للعناصر القصيرة، تعتمد درجة الحرارة على كل من (r) والإحداثي المحوري (z)، مما يتطلب صياغة ثنائية أو ثلاثية الأبعاد.

يتضمن الحل بعد ذلك دوال بيسل شعاعية مقترنة ودوال ذاتية محورية.

الخصائص المعتمدة على درجة الحرارة

قد تتغير المقاومة الكهربائية والموصلية الحرارية والسعة الحرارية مع درجة الحرارة. في هذه الحالة، لم تعد (q''') و (k) و (\alpha) ثابتة، وقد يلزم استبدال حل السلسلة التحليلي بتكامل زمني عددي.

أنظمة العزل والجدران المركبة

إذا كان عنصر التسخين محاطًا بعزل، أو غلاف معدني، أو جدار وعاء عملية، فإن كل طبقة تتطلب معادلة التوصيل الخاصة بها. عند كل واجهة، يجب أن يفرض النموذج

[ T_1=T_2 ]

و

[ -k_1\frac{\partial T_1}{\partial r}

-k_2\frac{\partial T_2}{\partial r}. ]

تضمن هذه الشروط استمرارية درجة الحرارة والتدفق الحراري عبر الهيكل المركب.

الاقتران بمائع العملية

افتراض الحدود (T_\infty) الثابتة مناسب عندما يكون المائع المحيط مختلطًا جيدًا أو يعمل كخزان حراري كبير. إذا تغيرت درجة حرارة المائع بشكل كبير، يجب اقتران نموذج السخان بميزان طاقة المائع الذي يتضمن الكتلة، والسعة الحرارية، ومعدل التدفق، ومساحة انتقال الحرارة، ومعامل انتقال الحرارة الإجمالي.

فهم المقايضات

الحل التحليلي مقابل النموذج العددي

حل سلسلة بيسل سريع وشفاف ومفيد لحسابات التصميم وتجارب التدريس. يصبح أقل ملاءمة عندما تتغير الهندسة أو الخصائص أو معدلات التوليد أو الشروط الحدودية مع الزمن أو الموقع.

تتعامل طرق الفروق المحدودة أو الحجم المحدود أو العناصر المحدودة مع هذه التعقيدات بشكل طبيعي أكثر ولكنها تتطلب التمييز العددي والتحقق.

التوليد المنتظم مقابل التوليد غير المنتظم

يفترض الملف التحليلي أعلاه توليد حرارة حجمي منتظم. يؤدي التحميل الكهربائي غير المنتظم، أو المقاومة المعتمدة على درجة الحرارة، أو التسخين الموضعي إلى تغيير مصطلح المصدر وبالتالي تغيير كل من الملف المستقر والاستجابة العابرة.

معامل الحمل الثابت مقابل ظروف التدفق المتغيرة

استخدام (h) ثابت يبسط الحساب، ولكن ظروف تدفق المحطة التجريبية قد تتغير أثناء التشغيل. يمكن أن تؤدي سرعة التحريك، ولزوجة المائع، وتغيرات الطور، والترسبات إلى تغيير (h)، لذا يجب التحقق من القيم المقاسة أو القائمة على الارتباط مقابل نطاق التشغيل.

درجة حرارة المركز مقابل متوسط درجة الحرارة

غالبًا ما تكون درجة حرارة المركز هي متغير السلامة أو جودة المواد الحرج، لكنها ليست هي نفسها متوسط درجة الحرارة الحجمي. قد تتطلب موازين طاقة العملية متوسط درجة حرارة الصلب، بينما قد تعتمد حدود المواد على أعلى درجة حرارة في خط المنتصف.

اتخاذ الخيار الصحيح لهدفك

يعتمد النموذج المناسب على الدقة المطلوبة والقياسات المتاحة وظروف التشغيل.

• إذا كان تركيزك الأساسي هو تقدير وقت استجابة السخان: استخدم أرقام فوريه وبيوت غير البعدية مع أنماط بيسل القليلة الأولى، مع التحقق مما إذا كان تقريب السعة المجمعة صالحًا.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو التنبؤ بأعلى نقطة: قم بتقييم الحل الشعاعي الكامل عند خط المنتصف، لأن درجة الحرارة القصوى تحدث عادةً عند (r=0).
• إذا كان تركيزك الأساسي هو تحديد أداء الحمل الحراري: استخدم قيم (h) المقاسة أو القائمة على الارتباط لحساب (\mathrm{Bi})، ثم قارن درجات حرارة السطح المتوقعة ومعدلات التسخين ببيانات المحطة التجريبية.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو نمذجة عنصر قصير أو معزول أو مركب: استخدم نموذجًا عدديًا متعدد الأبعاد أو متعدد الطبقات مع مطابقة درجة الحرارة والتدفق الحراري عند الواجهات.
• إذا كان تركيزك الأساسي هو التحكم في العملية: قم بإقران نموذج التوصيل الأسطواني بميزان طاقة المائع أو الوعاء بدلاً من معاملة درجة حرارة المائع المحيط على أنها ثابتة.

وبالتالي، تتم نمذجة السخان الكهربائي الأسطواني من خلال الجمع بين توليد جول الداخلي، والتوصيل الشعاعي، وفقدان السطح بالحمل، وأنماط دالة بيسل العابرة للتنبؤ بتاريخ درجة حرارته طوال تشغيل المحطة التجريبية.

جدول الملخص:

صمم نظام التسخين المناسب للمحطة التجريبية

هل تحتاج إلى تحكم موثوق في درجة الحرارة لتطبيق في الهندسة الكيميائية، أو المعالجة الحيوية، أو التكنولوجيا الحيوية، أو معالجة المياه والبيئة؟ اتصل بـ LABPARK لمناقشة متطلباتك.

توفر LABPARK محطات تجريبية لعمليات الوحدات التعليمية والمهنية للجامعات ومعاهد البحوث والمؤسسات. يمكن لفريقنا مساعدتك في اختيار وتكوين الأنظمة التي تأخذ في الاعتبار وقت استجابة السخان، ودرجة حرارة خط المنتصف، وأداء انتقال الحرارة، وظروف تدفق المائع، والعزل، والجدران المركبة، ومتطلبات التحكم في العملية. نحن ندعم الحلول العملية للمحطات التجريبية للتدريس والبحث وتطوير العمليات والتدريب الصناعي، مما يساعدك في الحصول على تشغيل قابل للتكرار وبيانات تجريبية ذات مغزى.

المنتجات ذات الصلة

• مصنع تجريبي تعليمي لتحديد معامل انتقال الحرارة للمبادلات الحرارية ذات الغلاف والأنابيب

يسأل الناس أيضًا

• لماذا يتم تطبيق تصحيح LMTD في وحدات الأنابيب والقشرة النموذجية وكيفية تحديده
• لماذا يتم تعديل تباعد الحواجز (Baffles) في محطات تجارب المبادلات الحرارية ذات الغلاف والأنبوب؟ أتقن نقل الحرارة وهبوط الضغط.
• كيفية تقدير انخفاض الضغط على جانب الغلاف في محطة تجريبية لمبادل حراري من النوع غلاف وأنابيب: شرح المعلمات الرئيسية
• كيف يتم تقييم عامل التلوث (Rd)? رؤى رئيسية من المصانع التجريبية للطلاب
• كيف يتم إظهار عامل التلوث باستخدام وحدات تجريبية من نوع غلاف وأنبوب؟ دليل عملي للمختبر