بالنسبة للتدفق المستقر والمكتمل النمو لطبقتين من السوائل غير القابلة للامتزاج في قناة، تختزل المعادلات الحاكمة إلى معادلة زخم واحدة لكل طور، مقترنة بشروط الجدار والواجهة بين السائلين. بالنسبة للسوائل النيوتونية غير القابلة للانضغاط، يتطلب حفظ الكتلة مجال سرعة خاليًا من التباعد، بينما يتم وصف حفظ الزخم بواسطة معادلات نافييه-ستوكس. في تقريب الألواح المتوازية الشائع، تكون السرعة المحورية في كل طور تربيعية عبر القناة، ويتم تحديد ثوابت التكامل من خلال شرط عدم الانزلاق عند الجدران بالإضافة إلى استمرارية السرعة وإجهاد القص عند الواجهة.

تخضع ملفات تعريف السرعة لتوازنات الزخم الناتجة عن تدرج الضغط في كل طور. يؤثر تباين اللزوجة على الملف من خلال معادلات الزخم الخاصة بكل طور، بينما تفرض شروط الواجهة حركة متسقة فيزيائيًا ونقل إجهاد بين السوائل.

ما الذي يجب حله

الاستمرارية في كل طور

بالنسبة للأطوار غير القابلة للانضغاط ذات الكثافة الثابتة، تكون معادلة الاستمرارية هي

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

حيث (\mathbf{v}^{(i)}) هو مجال السرعة للطور (i).

بالنسبة لتدفق قناة مستقر ومكتمل النمو وأحادي الاتجاه،

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

ويتم استيفاء الاستمرارية تلقائيًا لأن السرعة المحورية تتغير فقط في الاتجاه العرضي.

حفظ الزخم

معادلة زخم نيوتون العامة غير القابلة للانضغاط لكل طور هي

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

حيث (\rho_i) و (\mu_i) و (P^{(i)}) هي الكثافة واللزوجة الديناميكية والضغط للطور (i).

تتضمن هذه المعادلة التسارع العابر والحملي، والجاذبية، وقوى الضغط، وانتشار الزخم اللزج.

التدفق المحوري مكتمل النمو

عندما يكون التدفق مستقرًا ومكتمل النمو ومدفوعًا بشكل أساسي بتدرج ضغط محوري، تصبح معادلة الزخم المحوري

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

أو، بشكل مكافئ،

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

لكل طبقة سائلة.

توزيع السرعة الناتج هو

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

حيث (a_i) و (b_i) هما ثوابت التكامل التي تحددها الشروط الحدية والواجهة.

الشروط الحدية عند الجدران الصلبة

شرط عدم الانزلاق

عند جدار صلب ثابت، تساوي سرعة السائل المماسية سرعة الجدار. بالنسبة لهندسة الطبقتين في التكوين المرجعي،

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

[ v_x^{(2)}(-H_2)=0 ]

حيث يشغل الطور 1 المنطقة بين الواجهة والجدار العلوي، ويشغل الطور 2 المنطقة بين الجدار السفلي والواجهة.

توفر هذه الشروط اثنتين من المعادلات الأربع اللازمة لتحديد ثوابت التكامل.

شرط عدم الاختراق

عند جدار ثابت غير منفذ، تكون السرعة العمودية صفرًا:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

يمنع هذا الشرط أي سائل من عبور جدار القناة. في الحل أحادي الاتجاه المثالي، يتم تمثيله بالفعل بغياب مكون السرعة العمودي على الجدار.

الجدران المتحركة أو المسامية

إذا تحرك جدار، يصبح الشرط المماسي

[ \mathbf{v}t=\mathbf{V}{w,t} ]

بدلاً من الصفر. يتطلب الجدار المسامي أو التفاعلي شرط تدفق عمودي منفصل، لأن السائل أو الأنواع قد تعبر الحدود.

الشروط عند الواجهة بين السائلين

شرط الواجهة الحركي

عند واجهة ثابتة تقع عند (y=0)، يجب أن تكون السرعة العمودية متوافقة مع موقع الواجهة. بالنسبة لواجهة غير منفذة وغير متفاعلة،

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

بالنسبة للتكوين المتوازي مكتمل النمو، تكون كلتا السرعتين العموديتين صفرًا.

إذا كانت الواجهة تتحرك أو تتشوه، يجب أن تستوفي سرعتها بدلاً من ذلك الشرط الحركي المقابل. يصبح موقع الواجهة بعد ذلك جزءًا من الحل المجهول.

استمرارية السرعة المماسية

بالنسبة لسائلين نيوتونيين عاديين غير قابلين للامتزاج بدون انزلاق واجهي،

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

يضمن هذا الشرط أن طبقات السائل لها نفس السرعة المماسية عند حدودهما المشتركة.

وهو يوفر العلاقة الثالثة المطلوبة لتحديد ثوابت التكامل.

استمرارية إجهاد القص

عندما لا تحتوي الواجهة على إجهاد مماسي ناتج عن تدرجات التوتر السطحي، تكون إجهادات القص اللزجة مستمرة:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

هذا ضروري عندما تختلف اللزوجة. يتغير تدرج السرعة عمومًا عبر الواجهة بحيث يظل إجهاد القص متوازنًا.

وهو يوفر العلاقة الرابعة لثوابت التكامل الأربعة في ملفات تعريف السرعة التربيعية.

الإجهاد العمودي والتوتر السطحي

يتطلب نموذج ثنائي الطور كامل أيضًا شرط إجهاد عمودي عند الواجهة. في الشكل العام،

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

مع اتفاقية الإشارة المناسبة، حيث (\boldsymbol{\tau}) هو موتر الإجهاد الكلي، و(\gamma) هو التوتر الواجهي، و(\kappa) هو انحناء الواجهة.

بالنسبة لواجهة مسطحة وثابتة ذات توتر واجهي ثابت، يكون الانحناء صفرًا ويختزل شرط الإجهاد العمودي إلى مساواة الإجهادات العمودية. يصبح هذا الشرط مهمًا بشكل خاص عندما تتشوه الواجهة، أو لا تكون القناة مستوية، أو تتحكم القوى الشعرية في توزيع الطور.

تأثيرات مارانجوني

إذا تغير التوتر الواجهي مع درجة الحرارة أو التركيب، فإن الإجهاد المماسي ليس مستمرًا ببساطة. يتم موازنة قفزته بواسطة تدرج التوتر السطحي:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

حيث يشير (\nabla_s) إلى تدرج السطح.

بالنسبة للسوائل متساوية الحرارة ذات التركيب الموحد عند الواجهة، يتم إهمال هذا المصطلح عادةً.

الشروط عند مداخل ومخارج القناة

تدفق المدخل المحدد

تحدد نماذج المحطات التجريبية عادةً ملفات تعريف سرعة المدخل، أو معدلات تدفق الطور، أو معدلات التدفق الحجمي الكلي. يمكن وصف مدخل مكتمل النمو كـ

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

أو من خلال معدل تدفق الطور،

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

يجب أن يكون تحديد المدخل متسقًا مع توزيع الطور وموقع الواجهة.

تدرج الضغط المحدد

بالنسبة لقناة طويلة ومكتملة النمو، قد يكون تدرج الضغط هو المدخل المتحكم:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

في العديد من تكوينات القنوات ذات التيار المشترك، يكون تدرج الضغط المحوري مشتركًا بين كلا الطورين، على الرغم من اختلاف ملفات تعريف السرعة الناتجة لأن اللزوجة وسمك الطبقة يختلفان.

شرط المخرج

عند المخرج، قد يحدد النموذج الضغط، أو شرط تدفق مطور، أو شرط تدفق خارجي حملي مناسب. يعتمد الاختيار على ما إذا كانت المحطة التجريبية تُنمذج على أنها مدفوعة بالضغط، أو محكومة بالتدفق، أو متصلة بمعدات المصب.

يجب أن يتجنب شرط المخرج فرض قيد مصطنع على واجهة نامية أو مجال سرعة.

لماذا يهم تباين اللزوجة

انحناء مختلف للملفات

يتناسب انحناء كل ملف سرعة مع

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

عند نفس تدرج الضغط، يطور الطور الأقل لزوجة انحناء سرعة أكبر من الطور الأكثر لزوجة.

توازن الإجهاد يتحكم في تغير التدرج

على الرغم من أن السرعة المماسية مستمرة عند الواجهة، إلا أن تدرجات السرعة لا يجب أن تكون كذلك. يتطلب شرط الإجهاد

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

وبالتالي، تغير نسبة اللزوجة كيفية توزيع الزخم بين الطبقات.

عواقب العمليات الوحدوية

يؤثر مجال السرعة الناتج على توزيع زمن البقاء، وتجديد الواجهة، وهبوط الضغط، واحتجاز الطور، ومساحة نقل الكتلة، وأداء الفصل.

تعتبر هذه التأثيرات مهمة في وحدات الاستخلاص سائل-سائل، والمفاعلات ذات التدفق الطبقي، وأجهزة التلامس الغشائية، وغيرها من معدات القنوات التجريبية.

فهم المقايضات

افتراض النمو الكامل

الحل التربيعي صالح فقط بعد أن تصبح تأثيرات المدخل ضئيلة. بالقرب من المداخل، والموزعات، والمنعطفات، والانقباضات، وأجهزة تقسيم الطور، قد يتطلب التطور المحوري والحركة الثانوية المعادلات الكاملة متعددة الأبعاد.

افتراض الواجهة المسطحة

تستبعد الواجهة الثابتة عند (y=0) تشوه الواجهة والتطور الشعري. يمكن أن يكون هذا غير كافٍ عندما تكون معدلات التدفق عالية، وأبعاد القناة صغيرة، والتوتر الواجهي منخفضًا، أو تنتج خصائص الطور فروق ضغط كبيرة.

افتراض التدفق الطبقي

تصف المعادلة التفاضلية العادية المبسطة التدفق اللزج مكتمل النمو وهي قابلة للتطبيق بشكل مباشر في الظروف الطبقية. إذا دخلت القناة في نظام انتقالي أو مضطرب، فقد تكون هناك حاجة إلى علاقات إغلاق إضافية ونمذجة الاضطراب.

يجب أن يعتمد رقم رينولدز على بعد هيدروليكي مناسب، مثل القطر الهيدروليكي المتوسط

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

لهندسة القناة ذات الصلة.

افتراض واجهة عدم الانزلاق

تفترض استمرارية السرعة انزلاقًا واجهيًا ضئيلًا. في بعض الأنظمة المتخصصة، يمكن للمواد الخافضة للتوتر السطحي، أو التلوث، أو ريولوجيا الواجهة، أو التأثيرات على النطاق المجهري أن تغير شرط الواجهة وتتطلب نموذجًا تأسيسيًا واجهيًا.

افتراض الخصائص الثابتة

تفترض المعادلات المرجعية لزوجة وكثافة ثابتتين. يمكن لتدرجات درجة الحرارة أو التركيب القوية أن تجعل (\mu_i) و (\rho_i) متغيرين، مما يربط الزخم بتوازنات الطاقة والأنواع.

اتخاذ الخيار الصحيح لهدفك

استخدم مبادئ اختيار النموذج التالية عند تمثيل محطة تجريبية ذات قناة ثنائية الطور:

إذا كان تركيزك الأساسي هو التدفق المكتمل النمو المدفوع بالضغط: قم بحل معادلات الزخم المختزلة الخاصة بالطور مع عدم الانزلاق عند الجدران، واستمرارية السرعة المماسية، واستمرارية إجهاد القص عند الواجهة.
إذا كان تركيزك الأساسي هو موقع الواجهة أو احتجاز الطور: أضف شرط الواجهة الحركي وتوازن الإجهاد العمودي، بما في ذلك التوتر السطحي والانحناء.
إذا كان تركيزك الأساسي هو سلوك المدخل، أو الموزع، أو منطقة التحول: احتفظ بمعادلات نافييه-ستوكس الكاملة العابرة أو المستقرة متعددة الأبعاد وافرض شروط مدخل ومخرج وجدار وواجهة متسقة فيزيائيًا.
إذا كان تركيزك الأساسي هو نقل الكتلة أو التفاعل: اربط معادلات التدفق بحفظ الأنواع وافرض شروط التركيز أو التدفق عند المداخل والجدران والواجهة بين السائلين.
إذا كان تركيزك الأساسي هو التوسع وتوقع هبوط الضغط: قم بتضمين القطر الهيدروليكي المناسب، ونظام رقم رينولدز، وخشونة الجدار، ومعدلات تدفق الطور، وتغيرات الخصائص.

لا يتم تعريف نموذج المحطة التجريبية ثنائي الطور الموثوق به من خلال معادلاته التفاضلية فحسب، بل من خلال الشروط الحدية والواجهة التي تمثل بدقة كيفية عمل المعدات الحقيقية.

جدول الملخص:

عنصر النموذج	المتطلبات الحاكمة	الغرض
الاستمرارية	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	يضمن حفظ الكتلة غير القابلة للانضغاط في كل طور
الزخم	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	يصف الضغط، والجاذبية، والقصور الذاتي، والتأثيرات اللزجة
تدفق مكتمل النمو	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	ينتج ملفات تعريف سرعة تربيعية في كل طبقة
الجدران الصلبة	شروط عدم الانزلاق وعدم الاختراق	يحدد حركة السائل عند الجدران الثابتة أو المتحركة أو المسامية
الواجهة بين السائلين	توافق السرعة العمودية واستمرارية السرعة المماسية	يحافظ على حد طور متسق فيزيائيًا
إجهاد القص	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	يوازن نقل الزخم عبر الواجهة
الإجهاد العمودي	قفزة الإجهاد متوازنة بواسطة `γκ`	يأخذ في الاعتبار الانحناء والتوتر السطحي عندما تتشوه الواجهة
تأثيرات مارانجوني	قفزة الإجهاد المماسي متوازنة بواسطة `∇ₛγ`	يمثل تدرجات التوتر السطحي الناتجة عن درجة الحرارة أو التركيب
المدخل والمخرج	معدل التدفق المحدد، أو السرعة، أو الضغط، أو شرط التدفق المطور	يطابق النموذج مع تشغيل المحطة التجريبية الفعلية
النماذج الموسعة	معادلات الطاقة، والأنواع، والاضطراب، والخصائص المتغيرة	يدعم نقل الكتلة، والتفاعل، والتوسع، وظروف التشغيل غير المثالية

صمم محطة تجريبية موثوقة ذات قناة ثنائية الطور مع LABPARK. تدعم محطاتنا التجريبية للعمليات الوحدوية التعليمية والمهنية تطبيقات الهندسة الكيميائية، والمعالجة الحيوية والتكنولوجيا الحيوية، والتطبيقات البيئية ومعالجة المياه. نحن نساعد الجامعات ومعاهد البحوث والمؤسسات على تقييم هبوط الضغط، واحتجاز الطور، وزمن البقاء، ونقل الكتلة، وأداء الفصل، والتوسع في ظل ظروف تشغيل واقعية. اتصل بـ LABPARK لمناقشة سوائلك المستهدفة، ونظام التدفق، وتكوين القناة، ومتطلبات التدريب أو البحث. يمكن لفريقنا مساعدتك في اختيار نظام محطة تجريبية عملي يحسن قابلية التكرار التجريبي، ويدعم التعليم العملي، ويولد بيانات عملية مفيدة للتطوير الصناعي.