متجه الإجهاد هو قوة الجر المؤثرة على سطح، بينما يحتوي موتر الإجهاد على الحالة الكاملة للإجهاد الموضعي التي تولّده. بالنسبة إلى سطح ذي متجه عمودي وحدي خارجي n، يُحصل على متجه الإجهاد s(n) بتطبيق موتر الإجهاد σ على ذلك المتجه العمودي:
[ \mathbf{s}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} ]
وبشكل مكافئ، وفق اصطلاح المتجه الصفّي المستخدم في بعض مراجع ميكانيكا الموائع، تُكتب العلاقة نفسها على النحو التالي (\mathbf{s}(\mathbf{n})=\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}). والمحتوى الفيزيائي متطابق: إذ يحوّل الموتر اتجاه السطح إلى القوة لكل وحدة مساحة المؤثرة على ذلك السطح.
يمثل موتر الإجهاد الوصف الموضعي الكامل للإجهاد؛ أما متجه الإجهاد فهو قوة الجر المحددة الناتجة عندما يؤثر ذلك الموتر على سطح ذي متجه عمودي (\mathbf{n}).
ما الذي يمثله متجه الإجهاد
القوة لكل وحدة مساحة
يمثل متجه الإجهاد (\mathbf{s}(\mathbf{n})) القوة لكل وحدة مساحة المؤثرة عبر سطح داخلي افتراضي في المائع.
يعتمد اتجاهه ومقداره على اتجاه السطح، الذي يحدده المتجه العمودي الوحدي (\mathbf{n}).
اتجاه السطح مهم
يمكن للنقطة نفسها في المائع أن تتعرض لمتجهات إجهاد مختلفة على أسطح ذات اتجاهات مختلفة.
فقد يتعرض سطح عمودي على اتجاه إحداثي معين إلى توليفة مختلفة من القوى العمودية والمماسية مقارنةً بسطح ذي اتجاه آخر.
ما الذي يحتويه موتر الإجهاد
الحالة الكاملة للإجهاد الموضعي
يخزّن موتر الإجهاد (\boldsymbol{\sigma}) مكونات الإجهاد العمودي وإجهاد القص المرتبطة باتجاهات الإحداثيات عند نقطة معينة.
ولذلك فهو يحتوي على معلومات كافية لتحديد قوة الجر على كل سطح ممكن يمر عبر تلك النقطة.
تحويل الاتجاه إلى قوة جر
يجري الموتر تحويلاً خطياً من المتجه العمودي للسطح (\mathbf{n}) إلى متجه الإجهاد الموافق.
وبصيغة المؤشرات، باستخدام اصطلاح المتجه العمودي الشائع،
[ s_i(\mathbf{n})=\sigma_{ij}n_j ]
حيث إن (s_i) هو المركبة رقم (i) من متجه قوة الجر، و(\sigma_{ij}) هي مركبة موتر الإجهاد المناظرة.
أهمية رباعي وجوه كوشي
الاتزان الموضعي يثبت العلاقة
تنتج العلاقة من تحليل عنصر مائع رباعي الوجوه متناهي الصغر يكون في حالة اتزان ميكانيكي.
يجب أن تتوازن القوى المؤثرة على أوجهه ذات الاتجاهات المختلفة. ومع تقلص رباعي الوجوه نحو نقطة، تحدد قوى السطح على الأوجه المتوازية مع الإحداثيات القوة المؤثرة على أي وجه ذي اتجاه اختياري.
موتر واحد يحل محل قياسات عديدة
تعني النتيجة أنه لا حاجة إلى إجراء قياسات إجهاد منفصلة لكل اتجاه ممكن للسطح.
فبمجرد معرفة (\boldsymbol{\sigma}) عند نقطة ما، يمكن حساب (\mathbf{s}(\mathbf{n})) لأي (\mathbf{n}) مختار.
الفصل بين الإجهاد العمودي وإجهاد القص
الإجهاد العمودي
المركبة العمودية لمتجه الإجهاد على السطح هي الإجهاد العمودي:
[ s_{\mathrm{normal}}=\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n} ]
تؤثر هذه المركبة بشكل عمودي على السطح.
الإجهاد المماسي
تؤثر المركبة المتبقية داخل السطح وتمثل قوة جر القص:
[ \mathbf{s}_{\mathrm{shear}}
\mathbf{s}(\mathbf{n})
\left[\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n}\right]\mathbf{n} ]
يكتسب هذا التمييز أهمية عند تقييم احتكاك الجدران، والطبقات الحدية، وقوى المائع المؤثرة على المعدات المغمورة.
كيفية تطبيق ذلك في أنظمة نقل الموائع
جدران الأوعية والحشوات الداخلية
عند جدار الوعاء أو سطح الحشوة، يحدد المتجه العمودي المحلي للسطح قوة الجر الناتجة عن موتر إجهاد المائع.
ويمكن استخدام متجه الإجهاد الناتج لتقييم كل من الحمل العمودي الشبيه بالضغط وحمل القص المماسي.
الطبقات الحدية وقص الجدار
بالقرب من حد صلب، يعطي الجزء المماسي من (\mathbf{s}(\mathbf{n})) قوة جر القص على الجدار.
ويرتبط ذلك مباشرةً بحسابات السحب، وفقدان الطاقة، والتعرية، وقوى السطح.
الأحمال الميكانيكية
يؤدي تكامل متجه الإجهاد على سطح ما إلى الحصول على القوة الكلية التي يؤثر بها المائع:
[ \mathbf{F}=\int_A \mathbf{s}(\mathbf{n}),dA ]
وبالتالي، توفر العلاقة بين الموتر والمتجه المدخل الموضعي لحساب الأحمال على جدران الأوعية، والأنابيب، والدفاعات، والمعدات الداخلية.
فهم المفاضلات
يجب أن تكون بيانات موتر الإجهاد دقيقة
لا يكون متجه الإجهاد موثوقاً إلا بقدر موثوقية موتر الإجهاد المستخدم لحسابه.
في ديناميكيات الموائع الحسابية، يمكن للدقة العددية، ونمذجة الاضطراب، ومعالجة المناطق القريبة من الجدار أن تؤثر بشدة في إجهادات القص المتوقعة والأحمال السطحية.
يجب اتساق اصطلاح الموتر
تكتب بعض المراجع التحويل على صورة (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})، بينما تكتبه مراجع أخرى على صورة (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}).
تعكس هاتان الصيغتان اصطلاحات مختلفة للمتجهات ومؤشرات الموتر، لذلك يجب التحقق من تعريف المركبات قبل دمج المعادلات أو مخرجات البرمجيات.
الإجهاد الموضعي لا يساوي الحمل الكلي على المعدات
يصف متجه الإجهاد القوة لكل وحدة مساحة عند نقطة على السطح.
ويتطلب حساب الحمل الكامل على وعاء أو حشوة تكامل ذلك المتجه على السطح المعني، بينما تتطلب العزوم أيضاً مراعاة موضع كل نقطة على السطح.
اختيار النهج المناسب لهدفك
استخدم موتر الإجهاد كنقطة بداية، ثم اختر المتجه العمودي للسطح واستخرج مركبة القوة المرتبطة بالسؤال الهندسي.
- إذا كان تركيزك الأساسي هو تحميل السطح: احسب (\mathbf{s}(\mathbf{n})) من موتر الإجهاد الموضعي، ثم أجرِ تكامله على سطح الجدار أو المعدات.
- إذا كان تركيزك الأساسي هو احتكاك الجدار: أسقط (\mathbf{s}(\mathbf{n})) على السطح لعزل قوة جر القص المماسية.
- إذا كان تركيزك الأساسي هو الضغط أو الانضغاط: أسقط (\mathbf{s}(\mathbf{n})) على (\mathbf{n}) للحصول على الإجهاد العمودي.
- إذا كان تركيزك الأساسي هو مقارنة المعادلات أو البرمجيات: تحقق مما إذا كان التطبيق يستخدم (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}) أو الصيغة المكافئة للمتجه الصفّي (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}).
تمنحك معرفة موتر الإجهاد عند نقطة ما متجه الإجهاد على كل اتجاهات الأسطح المارة عبر تلك النقطة.
جدول الملخص:
| المفهوم الأساسي | المعنى الهندسي |
|---|---|
| متجه الإجهاد s(n) | القوة لكل وحدة مساحة المؤثرة على سطح ذي متجه عمودي n |
| موتر الإجهاد σ | الحالة المحلية الكاملة للإجهادات العمودية وإجهادات القص |
| العلاقة الأساسية | s(n) = σ · n، أو n · σ وفق اصطلاح المتجه الصفّي |
| الإجهاد العمودي | s(n) · n؛ قوة الجر العمودية على السطح |
| قوة جر القص | قوة الجر المتبقية المؤثرة موازية للسطح |
| القوة الكلية | F = ∫A s(n) dA على السطح المعني |
| التطبيقات | احتكاك الجدران، وتحميل الضغط، والسحب، والتعرية، وأحمال المعدات |
هل تحتاج إلى تقييم قوى الموائع، أو قص الجدار، أو أحمال المعدات؟ تواصل مع LABPARK لمناقشة مصانع الوحدات التجريبية التعليمية والمهنية للعمليات الكيميائية، وهندسة العمليات الحيوية والتقنيات الحيوية، ومعالجة البيئة والمياه. تساعد LABPARK الجامعات، ومعاهد البحوث، والمؤسسات على اختيار أنظمة عملية تجريبية على نطاق تجريبي للتدريس، وتطوير العمليات، والاختبار، والتحليل الهندسي الموثوق.