عزم الدوران النظري على كرة تدور في جريان زحف هو (G=-8\pi\mu\omega R^3)، حيث إن (G) هو عزم مقاومة الموائع، و(\mu) هي اللزوجة الديناميكية، و(\omega) هي السرعة الزاوية، و(R) هو نصف قطر الكرة. تشير الإشارة السالبة إلى أن عزم المائع يعاكس دوران الكرة؛ أما مقداره فهو (8\pi\mu\omega R^3). في معدات تعليم قياس اللزوجة لعمليات الوحدات، تتيح هذه العلاقة الخطية بين عزم الدوران والسرعة للطلاب حساب اللزوجة مباشرةً من عزم الدوران المقاس والسرعة الدورانية.
بالنسبة إلى كرة تدور في مائع غير محدود فعليًا عند رقم رينولدز منخفض جدًا، فإن (\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3). لذلك، فإن قياس عزم الدوران عند معرفة (R) و(\omega) يعطي (\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega))، شريطة أن تكون افتراضات جريان الزحف وإهمال تأثيرات الجدران صحيحة.
لماذا يكون عزم الدوران خطيًا مع السرعة الزاوية
شروط جريان الزحف
تنطبق النتيجة عندما يكون رقم رينولدز أصغر بكثير من الواحد:
[ \mathrm{Re}\ll 1 ]
في هذه الحالة، تكون تأثيرات القصور الذاتي مهملة مقارنةً بالتأثيرات اللزجة. ولذلك تحكم معادلات ستوكس الخطية حركة المائع، مما يجعل عزم المقاومة متناسبًا مباشرةً مع السرعة الزاوية.
مجال السرعة حول الكرة
بالنسبة إلى كرة تدور حول محور، تكون سرعة المائع سمتيةً محضة. وفي الإحداثيات الكروية، يكون مجال السرعة
[ v_\phi(r,\theta)=\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]
حيث إن (r) هي المسافة من مركز الكرة، و(\theta) هي الزاوية القطبية المقاسة من محور الدوران.
يحقق هذا المجال شرط عدم الانزلاق عند سطح الكرة ويتناقص بعيدًا عن الكرة.
إجهاد القص السطحي
يُستخرج إجهاد القص السمتي عند سطح الكرة من
[ \tau_{r\phi}
\mu r\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v_\phi}{r}\right) ]
وبالتعويض عن توزيع السرعة والتقييم عند (r=R) نحصل على
[ \tau_{r\phi}(R,\theta)
-3\mu\omega\sin\theta ]
يكون الإجهاد أكبر ما يمكن بالقرب من خط استواء الكرة، حيث تكون (\sin\theta) أكبر ما يمكن، وينعدم عند قطبي الدوران.
اشتقاق عزم المقاومة
المساهمة من عنصر سطحي
يكون العنصر السطحي على الكرة
[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]
ويكون ذراع العزم المحلي حول محور الدوران
[ R\sin\theta ]
وبالتالي، فإن عزم الدوران التفاضلي هو قوة القص المؤثرة على العنصر السطحي مضروبةً في ذراع العزم هذا:
[ dG
\tau_{r\phi}(R,\theta) \left(R\sin\theta\right)dA ]
التكامل على الكرة
بالتكامل على كامل السطح الكروي نحصل على
[ G
\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(-3\mu\omega\sin\theta\right) \left(R\sin\theta\right) \left(R^2\sin\theta\right) ,d\theta,d\phi ]
لذلك،
[ G
-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin^3\theta,d\theta,d\phi ]
وباستخدام
[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi \qquad\text{و}\qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]
نحصل على
[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]
مقدار عزم المقاومة ذي الصلة تجريبيًا هو
[ \boxed{\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3} ]
كيفية استخدام التعبير في معدات تعليم قياس اللزوجة
تحويل عزم الدوران إلى لزوجة
يستخدم جهاز قياس اللزوجة التعليمي محركًا لتدوير الكرة عند سرعة زاوية معلومة، ويقيس عزم الدوران اللازم للحفاظ على ذلك الدوران. وبإعادة ترتيب التعبير النظري نحصل على
[ \boxed{\mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega}} ]
وبالتالي، يمكن للطلاب تحديد اللزوجة الديناميكية من ثلاث كميات:
- عزم المقاومة المقاس، (G)؛
- نصف قطر الكرة، (R)؛
- السرعة الزاوية، (\omega).
إظهار قياس اللزوجة الدورانية
تجعل المعدات المعنى الفيزيائي للزوجة قابلًا للقياس. فالمائع الأكثر لزوجة ينتج مقاومة أكبر عند السرعة الدورانية نفسها، بينما تؤدي زيادة السرعة الدورانية إلى إنتاج عزم لزج أكبر بما يتناسب معها.
وتكون العلاقة المتوقعة
[ \lvert G\rvert\propto\omega ]
ولذلك، ينبغي أن يكون مخطط عزم الدوران المقاس مقابل السرعة الزاوية خطيًا ضمن نطاق التشغيل الخاص بجريان الزحف. ويكون ميله
[ \frac{\lvert G\rvert}{\omega}=8\pi\mu R^3 ]
ويمكن استخدامه لحساب اللزوجة.
ربط النظرية بعمليات الوحدات
في مختبر عمليات الوحدات، يوضح الجهاز كيفية الحصول على خواص النقل من القياسات الميكانيكية المضبوطة. ويربط الطلاب اشتقاق ميكانيكا الموائع بإجراء تشغيلي يتضمن التحكم في السرعة، وقياس عزم الدوران، وجمع البيانات، وحساب اللزوجة.
توضح التجربة أيضًا سبب أهمية هندسة المعدات: إذ يعتمد عزم الدوران على نصف قطر الكرة من خلال (R^3)، ولذلك يجب معرفة نصف القطر بدقة.
تقليل تصحيحات تداخل الجدران
يصف التعبير النظري كرة تدور في مائع غير محدود فعليًا. وعندما تكون الكرة بعيدة بما يكفي عن جدران الوعاء، يمكن تطبيق العلاقة المثالية دون الحاجة إلى تصحيحات معقدة لتداخل الجدران.
وهذا يجعل ترتيب الكرة الدوارة مفيدًا لتعليم المبدأ الأساسي لقياس اللزوجة بطريقة مباشرة نسبيًا.
فهم المفاضلات
افتراض جريان الزحف أساسي
يكون التعبير صالحًا عندما (\mathrm{Re}\ll1). وعند أرقام رينولدز الأعلى، تصبح تأثيرات القصور الذاتي مهمة، وقد لا يعود عزم الدوران يتغير خطيًا مع السرعة الزاوية.
وبالتالي، فإن زيادة السرعة دون حدود لا تحافظ على المعايرة النظرية.
يمكن أن يغير القرب من الجدار عزم الدوران المقاس
يفترض الاشتقاق أن المائع المحيط يمتد لمسافة كافية بعيدًا عن الكرة. وتقيّد جدران الوعاء القريبة الجريان، ويمكن أن تزيد عزم المقاومة المقاس.
إذا لم يوفر الجهاز خلوصًا كافيًا، فقد تقلل المعادلة المثالية من تقدير اللزوجة الحقيقية ما لم يُطبَّق تصحيح.
يشمل عزم الدوران عمليًا أكثر من مساهمة المائع المثالية
قد يقيس الجهاز الحقيقي الاحتكاك الميكانيكي، أو مقاومة المحامل، أو انحرافات المستشعر، إضافةً إلى عزم الكرة الهيدروديناميكي. وينبغي تحديد هذه المساهمات من خلال قياسات الصفر أو القياسات الأساسية المناسبة حيثما يسمح الجهاز بذلك.
ينبغي تطبيق المعادلة النظرية على عزم الدوران الهيدروديناميكي المصحح.
يجب الحفاظ على التحكم في الهندسة وظروف التشغيل
تفترض العلاقة وجود كرة ذات نصف قطر معلوم تدور بثبات في مائع نيوتني موحد. ويمكن أن تؤثر التغيرات في حجم الكرة، أو السرعة، أو درجة الحرارة، أو حالة المائع في تفسير القياس.
ولأغراض التعليم، ينبغي تسجيل هذه المتغيرات والحفاظ عليها ثابتة أو التعامل معها صراحةً أثناء تحليل البيانات.
تطبيق العلاقة في المختبر
يتبع الحساب العملي مباشرةً من النتيجة النظرية:
[ \mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega} ]
- إذا كان تركيزك الأساسي هو تحديد اللزوجة: قِس عزم المقاومة المستقر عند سرعة زاوية معلومة، واحسب (\mu) باستخدام (\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)).
- إذا كان تركيزك الأساسي هو التحقق من صحة النظرية: قِس عزم الدوران عند عدة نقاط تشغيل منخفضة السرعة، واختبر ما إذا كانت العلاقة بين عزم الدوران والسرعة خطية.
- إذا كان تركيزك الأساسي هو تعليم حدود التجربة: قارن التنبؤ المثالي بالقياسات مع مراعاة رقم رينولدز، والقرب من الجدار، والسحب الميكانيكي، ودرجة الحرارة.
- إذا كان تركيزك الأساسي هو معايرة المعدات: استخدم مائعًا ذي لزوجة معلومة للتحقق من استجابة عزم الدوران وتحديد أي عزم أساسي أو انحراف منهجي.
تحوّل تجربة الكرة الدوارة قانون عزم الدوران في جريان ستوكس إلى طريقة مباشرة وقابلة للتعليم لقياس اللزوجة وتقييم الافتراضات الكامنة وراء أجهزة عمليات الوحدات.
جدول الملخص:
| الجانب الأساسي | الملخص |
|---|---|
| تعبير عزم الدوران | (G=-8\pi\mu\omega R^3) |
| مقدار عزم الدوران | ( |
| حساب اللزوجة | (\mu= |
| الصلاحية | جريان زحف مع (\mathrm{Re}\ll1) |
| الاتجاه المتوقع | يزداد عزم المقاومة خطيًا مع السرعة الزاوية |
| المتغيرات الأساسية | عزم الدوران، ونصف قطر الكرة، والسرعة الزاوية، ودرجة الحرارة، وحالة المائع |
| الاعتبارات العملية | مراعاة تأثيرات الجدران، والاحتكاك الميكانيكي، وانحرافات المستشعر، والمعايرة |
انقل نظرية ميكانيكا الموائع إلى التدريب العملي في المختبرات مع مصانع LABPARK التعليمية والمهنية التجريبية لعمليات الوحدات. تساعد معدات تعليم قياس اللزوجة لدينا الجامعات، ومعاهد البحوث، والمؤسسات على توضيح عزم الدوران الدوراني، وقياس اللزوجة، وسلوك جريان الزحف، والمعايرة، والقيود التجريبية. استكشف مصانع LABPARK التجريبية للهندسة الكيميائية، والعمليات الحيوية والتقنيات الحيوية، ومعالجة البيئة والمياه، ثم تواصل مع LABPARK لمناقشة متطلباتك في التعليم أو البحث أو التدريب على العمليات وتحديد تكوين المعدات المناسب.
المنتجات ذات الصلة
- وحدة تجريبية تعليمية متعددة الوظائف لفصل الغشاء لمختبر العمليات الوحدوية
- وحدة تعليمية عمليات التشغيل التجريبية للتحريك والخلط
- وحدة تعليمية تجريبية لتشغيل المصانع لإظهار رقم رينولدز للسوائل
- وحدة تجريبية تعليمية للتقطير المستمر بالصواني الغربالية لمختبر عمليات الوحدات
- وحدة تدريب عمليات التقطير متعددة الوسائط - مصنع تجريبي
يسأل الناس أيضًا
- ما هي الاختلافات الرئيسية في تكوينات الأغشية؟ اختر وحدة العمليات التجريبية المناسبة
- كيف تعلم محطات الفصل الغشائي النموذجية حدود التناضح العكسي؟ أتقن ديناميكيات الضغط الأسموزي.
- كيف تختلف النفاذية بالتبخر، والنفاذية البخارية، والنفاذية الغازية في الوحدات التجريبية؟ مقارنة رئيسية
- كيف تؤثر درجة الحرارة والأس الهيدروجيني على توصيلية الغشاء؟ دليل المصنع التجريبي
- كيف تقيّد الأغشية البوليمرية فصل الغازات؟ الحدود الرئيسية لمحطات التجارب التجريبية.
